分段函数小专题.

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1、安徽省颍上第一中学资料ldl整理提供分段函数小专题一、概念1、分段函数的定义及内涵我们知道世界是不断变化发展的，因此作为描述这种变化的工具之一的函数也不可能一成不变，内部必然以一种变化的姿态来对应，这种姿态的一种表现形式就是分段函数。何谓分段函数呢？就是一个单一函数解析式无法表达一个变化事物时，需要对该事物进行分析讨论，从而分段表达，这就是分段函数。比如，在叙述一个数的绝对值意义时，就是按正数、负数和零来分开叙述的，写成函数。像这样的，若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的

2、函数通常叫做分段函数．[提醒]　1、分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．2、分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集2、分段函数的作图：画出所有段的函数图像，注意取舍（一手铅笔一手橡皮）。比如作的图像：的图像：二、题型分类题型一、分段函数求值例1、【2015新课标2理5】设函数,则（）A.3B.6C.9D.12【分析】此题关键是看和与1的大小关系，从而决定分别代入哪个解析式进行求值计算。友情提示：对数恒等式。变式：（2014江西4）已知函数，若，则（）安徽省颍上第

3、一中学资料ldl整理提供例2、（2014安徽14）若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则.【分析】此题注意题干中的关键词“周期”、“奇函数”，在做本题时注意通过这两条性质把不在内的两个自变量的值变换到范围内。变式1、（2014四川13）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则.变式2、【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=—f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).则f(6)=（）（A）-2（B）-1（C）0（D）2提示

4、：周期为1是在（0，+∞）上才成立的，不涉及负数。题型二、与分段函数相关的方程与不等式例3、已知实数a≠0，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．例4、（2014浙江15）设函数，若，则.变式、【2015山东理10】设函数则满足的取值范围是（）A.B.C.D.例5、（2014新课标115）设函数则使得成立的的取值范围是________.变式、(2015·榆林二模)已知f(x)＝使f(x)≥－1成立的x的取值范围是________．题型三、分段函数的单调性与最值、值域例6、求下

5、列函数的单调区间：y＝－x2＋2

6、x

7、＋1；（2）y＝

8、－x2＋2x＋1

9、解：(1)由于y＝即y＝安徽省颍上第一中学资料ldl整理提供画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．（2）略变式1．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．变式2．设函数y＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k，定义函数fk(x)＝取函数f(x)＝2－

10、x

11、.当k＝时，求函数fk(x)的单调递增区间．例7．已知

12、函数f(x)＝则“c＝－1”是“函数f(x)在R上递增”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件例8.【2015·湖北理，6】已知符号函数是上的增函数，，则（）A.B.C.D.例9．函数f(x)＝的最大值为________．变式1.【2015·浙江理，10】已知函数，则___，的最小值是___.变式2.【2015·福建理，14】若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是______.题型四、分段函数的奇偶性与周期性例10、判断函数的奇偶性：f(x)＝例11．(2015·

13、唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)．则当x＜0时，f(x)＝(　　)A．－x3－ln(1－x)　B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)变式．已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．例12、（2014辽宁10）已知为偶函数，当时，，则不等式的解集为（）安徽省颍上第一中学资料ldl整理提供A．B．C．D．例13、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区

14、间[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，则a＋3b的值为________．题型五、与分段函数相关的零点问题例14、（2014福建15）函数的零点个数是__________变式1【2015·江苏，13】已知函数，，则方程实根的个数为______.变式2【2016高考山东文数】已知函数其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_____________