数学：《平面向量的数量积》

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1、1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0°，90°，180°时，这两个向量的位置关系如何？问题提出向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。OBAθ特殊情况θ=0°θ=180°θ=90°2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.平面向量数量积的物理背景及其含义思考1：如图

2、，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W是多少？sFθW＝︱F︱︱s︱cosθ思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·ba·b=

7、a

8、

9、b

10、cosθ规定:零向量与任一向量的数量积为0,说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.(2)a·b不能写成a×b(3

11、)在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．例1已知

12、a

13、=5，

14、b

15、=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。解：a·b=

16、a

17、

18、b

19、cosθ垂直于直线OA，垂足为B1，则

20、b

21、cosθOABab

22、b

23、cosθ叫向量b在a方向上的投影．θ为锐角时，

24、b

25、cosθ＞0θ为钝角时，

26、b

27、cosθ＜0θ为直角时，

28、b

29、cosθ=0BOAabOABab，过点B作BB1如图当θ=0°时，OB1=

30、b

31、；OBAab当θ=180°时，OB1=－

32、b

33、.OB1=

34、b

35、cosθOBAab数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影

36、的乘积。即B1由向量数量积得到的几个结论设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则（1）e·aa·e=

37、a

38、cos=（2）a⊥ba·b=0（3）当a与b同向时，a·b=

39、a

40、

41、b

42、，当a与b反向时，a·b=－

43、a

44、

45、b

46、，特别地（4）（5）a·b≤

47、a

48、·

49、b

50、.向量数量积满足的运算律想一想：∴向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律吗？说明：即：成立吗？例6例7亿皇www.yihuan168.com亿皇克鬻阬谢谢观看！