《环(离散数学》PPT课件

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1、§6.6环6.6.1环的定义6.6.2环的性质6.6.1环的定义设R是一个非空集合,其中有加“+”、乘“•”两种二元代数运算，称（R,+,•）为一个环，如果1)a+b=b+a，2)a+（b+c）=（a+b）+c，3)R中有一个元素0，适合a+0=a，4)对于R中任意a,有-a,适合a+（-a）=0，5)a•（b•c）=（a•b）•c，6)a•（b+c）=(a•b)+(a•c)，（a+b）•c=(a•c)+(b•c)。环的例所有整数在整数的加法与乘法下作成一个环，叫做整数环。域上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下作成一个环，叫做n阶矩阵环。域上的所有多项式在多项式加法与乘法下作成一个环，叫做多

2、项式环。整数模n的所有剩余类集合在剩余类加法与乘法下作成一个环。所有有理数、所有实数、所有复数在数的加法与乘法下都分别作成环，常称为有理数域、实数域、复数域。性质1用数学归纳法，分配律可以推广如下：a（b1+…+bn）=(ab1)+…+(abn)，（a1+…+am）b=(a1b)+…+(amb)，6.6.2环的性质环的性质性质2a（c-b）=(ac)-(ab)，（c-b）a=(ca)-(ba)。证明：由a（c-b）+(ab)=a（c-b+b）=ac，得a(c-b)=(ac)-(ab)。同理，(c-b)a=(ca)-(ba)。性质3a0=0，0a=0。证明：由性质2，令b=c=0，得a（0-0

3、）=(a0)-(a0)=0，（0-0）a=(0a)-(0a)=0，即,a0=0，0a=0。性质4a（-b）=-（ab），（-a）b=-（ab），（-a）（-b）=ab。证明：由性质2，令c=0，即得a（-b）=-（ab），（-a）b=-（ab）。因此，（-a）（-b）=-((-a)b)=-（-（ab））=ab。性质5对任意整数m，都有a（mb）=（ma）b=m（ab）。环的性质性质6am+n=aman，（am）n=amn。性质7在交换环中，有第三指数律：（ab）n=anbn。性质8在交换环中二项式定理成立：(a+b)n=an+nan-1b+an-2b2+…+bn。用数学归纳法证明.环的性质如

4、果环R不只有一个元素而且有一个元素1适合对任意aR，1a=a1=a则称R为含壹环。例.整数环为含壹环，所有偶数在数的加法和乘法下作成的环不是含壹环。含壹环性质9含壹环R的壹是唯一确定的。证明：若1、1′为R的两个壹，则1′=11′=1。性质10设环R有1，则1≠0。证明：取a∈R,且a≠0,则a0=0,而a1=a,故1≠0。性质11任意环R均可扩充成一个含壹环R+。证明：令R+={a+m

5、a∈R，m∈Z}。规定：（a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）;（a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。则R+为环，其壹为0+1。含壹环性质定义.若R是环,S是R的非空子集,若S在R的加

6、法和乘法下仍是环,则称S是R的子环。结论：R本身以及{0}是R的两个平凡子环。定理6.6.1环R的子集S作成子环必要而且只要，（1）S非空；（2）若a∈S，b∈S，则a-b∈S;（3）若a∈S，b∈S，则ab∈S。子环对于环来说，若大环有壹，子环未必有壹.如，整数环含1，但其子环偶数环不含1。即使子环有壹，其壹未必与大环的壹一致.见教材224页矩阵环的例子。子环与大环的关系定义.若R是环，a，b∈R，如果a≠0，b≠0，但ab=0，则称a，b为零因子。如果R没有这样的元素，则说R无零因子。无零因子的环称为消去环。例.整数环是消去环，矩阵环不是消去环，有零因子。比如，消去环性质12环R是消去环

7、iffR中消去律成立。证明：必要性。如果a≠0,且ab=ac,那么ab-ac=0,即a（b-c）=0。因环R中无零因子,而a≠0,故必有b-c=0，即b=c，因此，左消去律成立，同理可证右消去律也成立。充分性。设消去律成立，即由a≠0,ab=ac可推出b=c。若ab=0,而a≠0,则ab=a0,因而由消去律可得b=0。故R无零因子,R是消去环。消去环的性质性质13在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期相同。证明：(1)若不为0的元素在加法下的周期都为0，则得证。(2)否则，R中存在非零元素a，a的周期不是0，设为m，即ma=0。任取R中非零元b，消去环的性质则，a(mb)=(ma)b=0b

8、=0，又由a≠0，且R无零因子知，mb=0，所以b的周期不是0，设为n，则n

9、m。另一方面，(na)b=a(nb)=a0=0，又由b≠0,且R无零因子知，na=0。而a的周期为m,故m

10、n。因此，m=n。由b的任意性知，在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期都与a的周期相同。消去环的性质性质14在消去环R中，不为0的元素在加法下的周期或为0或为质数。证明：设a∈R，a≠0，且a的周期为n，故na=0。(1)