运筹学基础图论方法

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1、§6.4最大流量问题当以物体、能量或信息等作为流量流过网络时，怎样使流过网络的流量最大，或者使流过网络的流量费用或时间最小。通常把设计为样的流量模型问题，叫做网络的流量问题。本节主要讨论最大流量问题。即在一定条件下，要求流过网络的流量为最大。123465653475732在有一个起点和一个终点的网络中，最大流量问题是企图找出，在一定时期内，能在起点进入，并通过这个网络，在终点输出的最大流量。(一)网路的最大流的相关概念st53424(0)3(0)2(0)1(0)1(0)5(0)3(0)2(0)5(0)定义网路上支路的容量为其最大通过能力,记为cij,支路上的实际流量记为fij图中规定一个发点s

2、，一个收点tcij(fij)容量限制条件：0≤fij≤cij，当支路上fij=cij，称为饱和弧平衡条件：viA(vi)B(vi)满足上述条件的网路流称为可行流，总存在最大可行流（二）截集与截集容量st42319(4)6(1)9(9)2(0)5(4)7(5)8(8)10(8)5(5)截集：把网路中的发点和收点分开，并使s→t的流中断的正向弧的集合，也叫做割。福特-富克森定理：网路的最大流等于最小截集容量一般包含s点的成分中的节点集合用V表示，包含t点的成分中的节点集合用表示截集容量是指截集中弧的容量之和网路的最大流就是最小截集容量为14截集1=｛（s,1），（s,2）｝（三）确定网路最大流的标

3、号法从任一个初始可行流出发，如0流。若在当前可行流下再也找不到增广链，则已得到最大流!增广链是从发点到收点的一条链，该链上所有指向为s→t的前向弧，存在f＜c；所有指向为t→s的后向弧，存在f＞0，这样的链叫增广链。基本算法：找一条从s到t点的增广链。st54323(0)5(3)1(1)5(1)1(1)qs2=4q5t=2q45=3q43=1q32=1增广量q=minqij=min(4,1,1,3,2)=1st54323(1)5(4)1(0)5(2)1(0)增广过程：前向弧f'ij=fij+θ,后向弧f'ij=fij–θ,增广后仍是可行流欲求增广量找最小截集的标号法步骤第一步：标号过程，找一条

4、增广链1、给源点s标号[s+,q(s)=]，表示从s点有无限流出潜力2、找出与已标号节点i相邻的所有未标号节点j，若(1)(i,j)是前向弧且饱和，则节点j不标号（即此路不通）；(2)(i,j)是前向弧且未饱和，则节点j标号为[i+,θ(j)]，表示从节点i正向流出，可增广θ(j)=min[θ(i),cijfij]；(3)(j,i)是后向弧，若fji=0，则节点j不标号（即此路不通）；(4)(j,i)是后向弧，若fji>0，则节点j标号为[i,θ(j)]，表示从节点j流向i，可增广θ(j)=min[θ(i),fji]；最大流最小截集的标号法步骤3、重复步骤2，可能出现两种情况：(1)节点

5、t获得标号，找到一条增广链，由节点t标号回溯可找出该增广链；到第二步(2)节点t尚未标号，但无法继续标记，说明网路中已不存在增广链，当前流v(f)就是最大流；所有获标号的节点在V中，未获标号节点在中，V与间的弧即为最小截集，最小截集容量即为该网络最大流量；算法结束最大流最小截的标号法步骤第二步：增广过程1、对增广链中的前向弧，令f=f+q(t)，q(t)为节点t的标记值2、对增广链中的后向弧，令f=fq(t)3、非增广链上的所有支路流量保持不变第三步：抹除图上所有标号，回到第一步以上算法是按广探法描述的，但在实际图上作业时，按深探法进行更快捷一次只找一条增广链，增广一次换一张图最后一次用

6、广探法，以便找出最小截集最大流最小截集的标号法举例st42319(4)6(1)9(9)2(0)5(4)7(5)8(8)10(8)5(5)(s+,)(s+,2)(2-,2)(1+,2)(3-,1)(4+,1)第一条链：(s+,)→(s+,2)→(2-,2)→(1+,2)→(3-,1)→(4+,1)q=1前向弧f'ij=fij+θ后向弧f'ij=fij–θst42319(4)6(1)9(9)2(0)5(4)7(5)8(8)10(8)5(5)st42319(5)6(0)9(9)2(0)5(3)7(6)8(8)10(9)5(5)(s+,)(s+,1)(2-,1)(1+,1)第二条链：(s+,)

7、→(s+,1)→(2-,1)→(1+,1)截止最大流量为5+9＝14最小截集又例：利用标号法（确定最小截集）求最大流量第二条链：(s+,)→(s+,1)截止(s+,)(2+,1)第一条链：(s+,)→(s+,2)→(2+,1)→(5+,1)→(3-,1)→(1+,1)→(4+,1)最小截集最大流量为5+3+5＝13(s+,2)st52413(2)2(0)5(4)3(3)3(3)6(4)5(5