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1、图与网络分析图与网络的基本知识最短路问题最大流问题本章主要内容：8/14/20211图与网络的基本知识图论起源——哥尼斯堡七桥问题问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？结论：不能。每个结点关联的边数要均为偶数。BDACABCD一笔画问题8/14/20212图与网络的基本知识环球旅行问题：8/14/20213图与网络的基本知识环球旅行问题的解另一个著名的问题:中国邮路问题8/14/20214图论中图是由点和边构成，可以反映一些对象之间的关系。一般情况下
2、图中点的相对位置如何、点与点之间联线的长短曲直，对于反映对象之间的关系并不是重要的。图的定义：若用点表示研究的对象，用边表示这些对象之间的联系，则图G可以定义为点(顶点)和边的集合，记作：其中:V——点集E——边集※图G区别于几何学中的图。这里只关心图中有多少个点以及哪些点之间有连线。图与网络的基本知识8/14/20215(v1)赵(v2)钱孙(v3)李(v4)周(v5)吴(v6)陈(v7)e2e1e3e4e5(v1)赵(v2)钱(v3)孙(v4)李(v5)周(v6)吴(v7)陈e2e1e3e4e
3、5可见图论中的图与几何图、工程图是不一样的。例如：在一个人群中，对相互认识这个关系我们可以用图来表示。图与网络的基本知识8/14/20216定义:图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1];e2=[v1,v2];v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5端点,关联边,相邻若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是边e的端点，反之称边e为点vi或vj的关联边。若点vi、vj与同一条边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公共的端点，
4、称边ei和ej相邻。V={v1,v2,v3,v4,v5}，E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,e8}，图与网络的基本知识边数：m(G)=
5、E
6、=m顶点数：n(G)=
7、V
8、=n8/14/20217无向边与无向图：若图中任一条边的端点无序，即(vi,vj)与(vj,vi)是同一条边，则称它为无向边，此时图称为无向图。有向图：若图中边(vi,vj)的端点是有序的，则称它是有向边（或弧），vi与vj分别称为这条有向边的始点和终点，相应的图称为有向图。有向图无向图图与网络的基本知识无向图,有向图
9、8/14/20218环,多重边,简单图如果边e的两个端点相重，称该边为环。如右图中边e1为环。如果两个点之间多于一条，称为多重边，如右图中的e4和e5，对无环、无多重边的图称作简单图。含多重边的图称为多重图。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5简单图多重图图与网络的基本知识环多重边8/14/20219完全图图与网络的基本知识每一对顶点间都有边相连的无向简单图称为无向完全图；有向完全图是指每一对顶点间有且仅有一条有向边的简单图。完全图顶点数n与边数m间成立如下关系:m=n(n-1)/
10、28/14/202110二部图（偶图）图G=(V,E)的点集V可以分为两各非空子集X，Y，集X∪Y=V,X∩Y=Ø,使得同一集合中任意两个顶点均不相邻，称这样的图为二部图（偶图）。v1v3v5v2v4v6v1v2v3v4v1v4v2v3(a)(b)(c)(a)明显为二部图，(b)也是二部图，但不明显，改画为(c)时可以清楚看出。图与网络的基本知识8/14/202111次，奇点，偶点，孤立点与某一个点vi相关联的边的数目称为点vi的次（也叫做度），记作d(vi)。右图中d(v1)＝４,d(v3)=5
11、,d(v5)=1。次为奇数的点称作奇点，次为偶数的点称作偶点，次为1的点称为悬挂点，次为0的点称作孤立点。v3e7e4e8e5e6e1e2e3v1v2v4v5图的次:一个图的次等于各点的次之和。图与网络的基本知识8/14/202112图与网络的基本知识v2v1v5v3v4e2e1e3e4e5e6d(v1)=4d(v2)=3悬挂点孤立点悬挂边偶点奇点8/14/202113图与网络的基本知识图中顶点次的性质定理1任何图中顶点次数的总和等于边数的2倍。定理2任何图中次为奇数的顶点必有偶数个。定义6在有向
12、图中，以顶点v为始点的边数称为顶点v的出次，记为d+(v)；以v为终点的边数称为v的入次，记为d-(v)。顶点v的出次与入次的和称为点v的次。定义7图G=(V,E),若E'是E的子集，若V'是V的子集，且E'中的边仅与V'中的顶点相关联，则称G'=(V',E')为图G的一个子图，特别地，若V'=V,则称G'为G的一个生成子图（支撑子图）。8/14/202114子图，生成子图(支撑子图)图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果有称G1是G2的一个子图。若有，则称G1是G2的
