高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质同步指导练习新人教a版

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1、四弦切角的性质一、基础达标1.已知，如图，PA切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，BC的延长线交AP于P，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是(　　)A.1B.2C.3D.4解析　如图所示，连接OA，OE，则△AOE为等腰三角形.∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP＝∠ABP.答案　C2.如图所示，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过C点的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P等于(　　)A.15°B.20°C.25°D.30°解析　如图，连接BC，∵PC是⊙O的切线，∴∠

2、PCB＝∠CAB＝35°.又∠PBC＝∠CAB＋∠ACB＝35°＋90°＝125°，∴∠P＝180°－125°－35°＝20°.答案　B3.如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)A.2B.3C.2D.4解析　如图，连接BC，由AB是直径，得AC⊥BC，由弦切角定理可知，∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴＝，∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12，∴AC＝2.答案　C4.如图所示，已知AB和AC分别是⊙O的弦和切线，A为切点，AD为∠BAC的平分线，且交⊙O于D，BD的延长线与AC交于

3、C，AC＝6，AD＝5，则CD＝________.解析　由AC为切线，得∠CAD＝∠B.由题意知∠CAD＝∠BAD，∴∠DAB＝∠B，∴AD＝BD＝5.又∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA，∴＝，即CD·BC＝AC2，∴CD·(BD＋CD)＝AC2，即CD·(5＋CD)＝36，解得CD＝4(负值舍去).答案　45.如图所示，AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.解析　连接OB，OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°，∴

4、∠BDC＝∠BOC＝50°.答案　50°6.如图所示，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于点E，求证：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.证明　(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE·CD.二、能力提升7.如图所示，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，C是上的一点，已知⊙O半径为r，PO＝2r，设∠PAC＋∠PBC＝α，∠APB＝β.则α，β的大小

5、关系是(　　)A.α>βB.α＝βC.α<βD.不能确定解析　如图，连接OA，OB，则OA⊥PA，又∵PO＝2r＝2OA，∴∠APO＝30°，∴β＝∠APB＝60°，∴∠POA＝∠POB＝60°，又∵α＝∠PAC＋∠PBC＝∠AOB＝60°，∴α＝β.答案　B8.如图，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为点D，则线段CD的长为________.解析　因为圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，则AC⊥BC，从而cos∠CBA＝＝.又因为l是圆O的切线，由弦切角定理得∠DCA＝∠CBA，从而cos∠

6、DCA＝cos∠CBA＝.又因为AD⊥CD，所以CD＝AC·cos∠DCA＝×＝.答案　9.如图，已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝，∠PAB＝30°，则线段PB的长为________.解析　如图，连接OA，又PA为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠PAB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠PAB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.答案　110.如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A，D的⊙O和BC切于D，且与AB，AC相交于E，

7、F.求证：EF∥BC.证明　如图所示，连接DF.∵DC是⊙O的切线，∴∠4＝∠2.又∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠1.又由圆周角定理得∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴EF∥BC.11.如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明　(1)∠FEB＝∠CEB；(2)EF2＝AD·BC.证明　(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝；又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝.从而∠FEB＝∠EAB.故∠

8、FEB＝∠CEB.(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF.类似可