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1、撩起圆锥曲线的面纱李惠利中学苏茂鸣2012年01月圆的推广飞船轨道为什么斜着切割一个圆柱得到的截线是一个椭圆呢？有关圆的某些定理在圆锥曲线中的推广是什么样的?圆锥曲线在大自然的基本结构中扮演着怎样的角色?斜切圆柱“数学是人类文化的重要组成部分……应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，……数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创造精神。”（《标准》P.4）追溯圆锥曲线的起源撩起圆锥截线的面纱进入二次曲线的世界感知圆锥曲线在大自然中所扮演的角色领悟圆锥曲线中的对立统一思想撩起圆锥曲线的面纱一、追溯圆锥曲线的起源研究尺规作图倍立方问题:作一个立
2、方体使其体积为已知立方体体积的2倍古希腊数学家Hippocrates(公元前5世纪)转化为求x，y满足：求x,y满足：x2=ay,y2=2ax,xy=2a2Plato派成员Menaechmus(公元前4世纪)——圆锥截线Apollonius（公元前260-公元前170）——《圆锥截线论》a3ax3=2a3x=？F2PF1+PF2PQR=RQ=定值二、撩起圆锥截线的面纱1.圆柱截线F1Γ1Γ2Γ为什么圆柱的斜截面是椭圆呢？2、圆锥截线π设圆锥的轴截面顶角为2β，截面π与圆锥轴线OO’的交角为θ(不过顶点O)截得圆锥截线为Γ.ΓOPF+PF’=RQ常数O’FP当β<θ<90
3、o时，截线Γ是椭圆。以β<θ<90o情形为例,βθ类似圆柱截线的情形，可证：F’QR3、准线在哪里？作Γ1所在的平面α，平面π与α相交于直线l.ΣΓ1CπOF准线是π与α交线l=e(常数)MΓKAFXTT’OK’NαPRl以β<θ<90o情形为例90o-β90o-θβθβθ1、当β<θ<90o时，截线Γ为椭圆；4、圆锥的不同截面AA’OθβO’设截面π与圆锥轴线OO’的交角为θ.当截面π经过圆锥顶点O时，……当截面π不经过圆锥顶点O且θ=90o时，……当截面π不经过圆锥顶点O且θ≠90o时，……此时，圆锥的所有母线都和截面π相交(即不平行)OO90o-θ90o-β=e有
4、：AKAX，>1OFK’KXAθβO’A’2、当θ=β时，截线Γ为抛物线;3、当θ<β时，截线Γ为双曲线。OβO’Aθ平移使截面经过顶点，则它和侧面相交于两条母线此时，圆锥有两条
5、母线和截面π平行.设截面π与圆锥轴线OO’的交角为θ.AθPascal（1623-1662）定理A1,A2,A3,B1,B2,B3六个点在同一条圆锥曲线上的充要条件是：。三、进入二次曲线的世界1、几个点确定一条圆锥曲线？B1B2B3A3A1A2P图中的三对直线的交点P,Q,R共线QR已知五个点A1,A2,A3,B1,B2，求作经过这5个点的一条圆锥曲线上的一点M.三、进入二次曲线的世界1、几个点确定一条圆锥曲线(含退化)？B1B2A3A1A2五点确定一条圆锥曲线电脑演示三、进入二次曲线的世界圆锥的向量方程：(ax+by+cz)2=(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)
6、cos2θ圆锥截线方程是：(ax+by+ck)2=(x2+y2+k2)(a2+b2+c2)cos2θ平面方程：z=k给定轴向量=(a,b,c),定角θ，设母线动向量：=(x,y,z)2、为什么圆锥截线是二次曲线（含退化）？z=kθOAX所以圆锥截线是二次曲线（含退化）由于圆锥曲线方程恰有5个独立参数:a、b、c、k、θ,所以5点确定一条圆锥曲线。Descartes(1596-1650)、Fermat(1601-1665)——解析几何学3、任何二次曲线也是圆锥截线吗？Euler(1707-1783)——在《分析引论》中对二次曲线分类设同一条二次曲线在两个平面直角坐标系中的
7、方程分别为：xOy：Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0x’O’y’：A’x’2+B’x’y’+C’y’2+2D’x’+2E’y’+F’=0它们的系数在保距坐标变换（平移和旋转组成）之下具有下述三个基本不变量：H=A+C=A’+C’=H’δ=B2-AC=B’2-A’C’=δ’二次曲线分类(含退化)Ax2+Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0δ≠0δ=0平移转轴如，B=C=0A*x2+B*xy+C*y2+F*=0A*x2+2D*x+2E*y+F*=0A’x’2+C’y’2+F’=0A’x’2+2E’y’+F’=0平移转轴转轴变换
