高中数学第一章不等关系与基本不等式3第2课时平均值不等式求最值学案北师大版

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1、第2课时　平均值不等式求最值学习目标　1.理解用平均值不等式求最值所需条件.2.会用平均值不等式求最值.3.能用平均值不等式解决简单的实际问题．知识点　利用平均值不等式求最值思考1　不等式＋≥2＝2中的等号能否取到？为什么？答案　不能取到．若等号能取到需满足＝，得x2＋2＝1，该方程无实数解，故所给不等式中的等号不能取到．思考2　在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件？答案　①三个实数均为正数；②三个正数的和(或积)为定值；③三个正数可以相等．梳理　(1)设x，y都是正数，则有①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值

2、；②若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.(2)设x，y，z都是正数，则有①若x＋y＋z＝S(和为定值)，则当x＝y＝z时，积xyz取得最大值；②若xyz＝P(积为定值)，则当x＝y＝z时，和x＋y＋z取得最小值3.类型一　利用平均值不等式求最值命题角度1　二元平均值不等式的应用例1　(1)设x＞0，y＞0且2x＋y＝1，求＋的最小值；(2)若x＜0，求f(x)＝＋3x的最大值．解　(1)＋＝×1＝(2x＋y)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时，等号成立，∴＋的最小值是8.(2)∵x＜0，∴－x＞0,

3、故f(x)＝－≤－2＝－12，当且仅当－＝－3x，即x＝－2时，等号成立，∴f(x)的最大值是－12.反思与感悟　在应用平均值不等式求最值时，分以下三步进行(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值．(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正．(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决．跟踪训练1　已知x＞0，y＞0，且x＋2y＋xy＝30，求x·y的最大值．解　由x＋2y＋xy＝30，得y＝(0＜x＜

4、30)，所以x·y＝·x＝＝＝34－.因为x＋2＋≥2＝16.可得xy≤18，当且仅当x＋2＝，即x＝6，代入y＝，得y＝3时，x·y取最大值18.命题角度2　三元平均值不等式的应用例2　(1)求函数y＝(x－1)2(3－2x)的最大值；(2)求函数y＝x＋(x＞1)的最小值．解　(1)∵1＜x＜，∴3－2x＞0，x－1＞0.又y＝(x－1)2(3－2x)＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤3＝3＝，当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，即x＝∈时，ymax＝.(2)∵x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋＝(x－1)＋(x－1)＋＋1≥3＋1＝4，当且仅

5、当(x－1)＝(x－1)＝，即x＝3时等号成立，∴ymin＝4.反思与感悟　(1)利用三元平均值不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均值不等式，要注意当三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均值不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练2　(1)求函数y＝(1－3x)2·x的最大值；解　y＝(1－3x)2·x＝·(1－3x)·(1－3x)·6x≤·3＝，当且仅当1－3x＝1－3x＝6x，即x＝时，ymax＝.(2)已知x∈R＋，求函

6、数y＝x(1－x2)的最大值．解　∵y＝x(1－x2)，∴y2＝2x2(1－x2)(1－x2)·.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤3＝，当且仅当2x2＝1－x2，即x＝时取“＝”号．∴y≤，即y的最大值为.类型二　解决恒成立问题例3　(1)设00，由题意，不等式a≥恒成立，则a必须大于或等于的最大值．方法一　∵2＝

7、＝1＋≤2，当且仅当x＝y时，等号成立，∴的最大值为，故a≥，∴a的最小值为.方法二　∵＝＋，2＋2＝1，∴令＝cosθ，＝sinθ，则＝cosθ＋sinθ＝sin≤，当θ＝时，等号成立，∴的最大值为.又∵a≥恒成立，∴a≥，即a的最小值为.(2)∵x2＋ax＋1≥0，x∈(0,2)，∴a≥－对于一切x∈(0,2)成立．∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴－≤－2，∴a≥－2.反思与感悟　解决某些含参数的不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法，使参数与变量分别位于不等式两端，从而将问题转化为求关于变量的函数的最值，进而通过平均值不等式

8、求出参数的取值范围．跟踪训练3　设x>0，y>0，且x＋y＝4，要使不等式＋≥m恒成立，求实数m的取值范围．解　由x>0，y>0，且x＋y＝4，得＝1