计算方法-第4章-3、数值积分与数值微分(龙贝格求积公式)

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1、计算方法第四章数值积分4.4龙贝格算法9/8/202114.4.1梯形法的递推化由上节讨论得知加密节点可以提高求积公式的精度，复化求积方法对提高精度是行之有效的，但必须事先给出合适的步长（即n的选取），步长取得太大则精度难以保证，而步长取得太小又会导致计算量的增加。因此，如何确定适当的n，使近似值和精确值之差在允许的范围，这又是一个难题。在实际计算中常常采用变步长的计算方案，即在步长逐次二分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，直到二分前后两次积分近似值之差符合精度要求为止。9/8/20212各节点为复化梯形公式为--------(1)经过二分只增加了一个分点9/8

2、/20213--------(3)--------(2)用复化梯形公式求得该子区间上的积分值为这里h仍为二分前的步长.将每个子区间上的积分值相加得由(1)(2)两式可9/8/20214(3)式称为递推的梯形公式递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复化梯形公式优点：梯形法计算简单缺点：收敛慢，为了达到要求的精度，需要二分区间多次，分点大量增加，计算量很大例：p1109/8/202154.4.2龙贝格算法根据复化梯形公式的余项表达式可知假定，则有9/8/20216即依此类推9/8/20217这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事后估计法.9/8

3、/20218用积分近似值的误差作为的一种补偿，得到例1.原积分的精确值为9/8/202192位有效数字3位有效数字6位有效数字将用于计算ò=10sindxxxI9/8/202110同理由复化辛普森公式的余项可得直接验证易知9/8/202111由复化Cotes公式的余项得称为龙贝格公式，是一种加速技术9/8/20211200.920735510.93979330.946145920.94457350.94608690.946083030.94569090.94608330.94608310.9460831例3将以上三个加速公式用于求从表中可以看出三次加速求得R1=0.9

4、460831每位数字都是有效数字9/8/2021134.4.2理查德森外推加速法定理4设，则有其中系数与h无关用h/2代替h，有由(4.7)及(4.8)两式可得9/8/202114比较(4.9)与可知，这样构造的序列就是辛普森公式序列一般的，若记，则有上述处理方法称为理查森外推加速法9/8/202115设以表示二分k次后求得的梯形值，且以表示的m次加速值，则依递推公式(4.10)可得公式(4.12)也称为龙贝格求积算法9/8/202116表4-5T表9/8/2021179/8/202118本章作业P1368(1)9/8/202119