材料力学第七章应力状态和强度理论

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1、第七章应力状态和强度理论§7-1概述§7-2平面应力状态的应力分析·主应力§7-3空间应力状态的概念§7-4应力与应变间的关系*§7-5空间应力状态下的应变能密度§7-6强度理论及其相当应力§7-8各种强度理论的应用*§7-7莫尔强度理论及其相当应力§7-1概述在第二章中曾讲述过杆受拉压时杆件内一点处不同方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正六面体──单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，故受力物体内一点处的应力状态可用一个单

2、元体及其上的应力来表示。第七章应力状态和强度理论单向应力状态第七章应力状态和强度理论纯剪切应力状态第七章应力状态和强度理论研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：1.了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服现象是由于在切应力最大的45˚斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚方向拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。2.在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所示,应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设(称为强度理论)的基础。第七章应力状态和强度

3、理论本章将研究：Ⅰ.平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态(空间应力状态)的概念；Ⅱ.平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——广义胡克定律；Ⅲ.强度理论。第七章应力状态和强度理论§7-2平面应力状态的应力分析·主应力平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面上的应力”)。第七章应力状态和强度理论纯剪切应力

4、状态第七章应力状态和强度理论对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面应力状态。(a)(c)(b)第七章应力状态和强度理论平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的应力。第七章应力状态和强度理论Ⅰ.斜截面上的应力第七章应力状态和强度理论图b中所示垂直于xy平面的任意斜截面ef以它的外法线n与x轴的夹角a定义，且a角以自x轴逆时针转至外法线n为正；斜截面

5、上图中所示的正应力sa和切应力ta均为正值，即sa以拉应力为正，ta以使其所作用的体元有顺时针转动趋势者为正。由图c知，如果斜截面ef的面积为dA，则体元左侧面eb的面积为dA·cosa，而底面bf的面积为dA·sina。图d示出了作用于体元ebf诸面上的力。体元的平衡方程为第七章应力状态和强度理论由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以2a为参变量的求a斜截面上应力sa，ta的公式：第七章应力状态和强度理论Ⅱ.应力圆为便于求得sa，ta，也为了便于直观地了解平面应力状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力圆(莫尔圆

6、)(Mohr’scircleforstresses)来表示。先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：第七章应力状态和强度理论而这就是如图a所示的一个圆——应力圆，它表明代表a斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。OC(a)第七章应力状态和强度理论第七章应力状态和强度理论OC(b)图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元体x截面上的应力sx,tx按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面上的应力sy,ty(取ty=-tx)定出点D2，然后连以直线，以它与s轴的交点C为圆心，并且

7、以或为半径作圆得出。值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述sa，ta计算公式中以2a为参变量这个前提。第七章应力状态和强度理论OC(b)利用应力圆求a斜截面(图a)上的应力sa，ta时，只需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半径按方位角a的转向转动2a角，得到半径，那么圆周上E点的坐标便代表了单元体a斜截面上的应力。现证明如下(参照图b)：第七章应力状态和强度理论E点横坐标第七章应力状态和强度理论E点

8、纵坐标第七章应力状态和强度理论Ⅲ.主应力与主平面第七章应力状态和强度理论由根据图a所示单元体上的应力所作应力圆(图b)可见，圆周上A1和A2两点的横坐标分别代表该单元体的垂直于xy平面的那组截面上正应力中的最大值和最小值，它们的作用面