数列求和及数列实际问题

《数列求和及数列实际问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、数列求和及数列实际问题【知识要点】1．探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题.【知识梳理】1．数列求和的常用方法（1）公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列；（2）裂项相消法：适用于其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；常见裂项：、=－、n·n！=(n+1)!－n!、、=－等.（3）错位相减法：适用于其中{}是等差数列，是各项不为0的等比数列.常用错项相消法.,其中是等差数列，是等比数列，记，则，

2、…（4）倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.（5）分组求和法（6）累加（乘）法等.2．常用结论（1）1+2+3+...+n=________.（2）1+3+5+...+(2n-1)=________.（3）________.（4）_______.（5）________;（6）__________.【典型例题】例1（1）求.（2）数列为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：解,=..例2、设a为常数，求数列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n项解析：①若a=0时，Sn=0；②若a=1，则Sn=1+2+3+…+n=；③若a≠1，a≠0时

3、，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=.和.例3、数列的通项，其前n项和为.(1)求解:(1)由于,故,故();(2)求数列｛｝的前n项(2)两式相减得故和.例4(1)求推广到一般：设数列是公差为，且首项为的等差数列解：因为，，.，求和：例5、某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，

4、哪种获利更多解：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，①甲获利：（万元），银行贷款本息：（万元），故甲纯利：（万元），②乙获利：（万元）；银行本息和：（万元）故乙方案纯利：（万元）；综上可知，甲方案更好.？（取）【基础训练】1、若数列{an}的通项公式为，求其前n项和Sn2、求解析：，.3、求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前n项和解：前n项中共有个奇数，故..4、求数列的前n项和解：数列的通项为：．所以：.5、证明：(1)等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd；(2)等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn；6、设数列

5、的前n项和=，求解：=，得=，∴=－=－+（）．∴=+，两边同乘以，得=+2，∴是首项为1公差为2的等差数列，∴=2+=，解得：=.例5.【能力提高】一、填空题1、一条信息，若一人得知后，一小时内将信息传给两人，这两人又在一小时内各传给未知信息的另外两人．如此下去，要传遍55人的班级所需时间大约为_______小时5解n小时后有2n人得知，总数为1+2+22+…+2n=2n+1－1≥55．即2n+1≥56n+1≥6n≥5．．2、已知（n∈N*），则数列{}的最大项为___________．3、等比数列{}公比,=1，，则其前4项和【解析】由得：，即，，解得

6、：q＝2，又=1，所以，，＝=..4、在数列{an}中，a1=1，an=an－1+an－2+…+a2+a1．（n∈N*，n≥2），则通项公式是an=解由an=an－1+an－2+…+a2+a1=Sn－1（n≥2），又an=Sn－Sn－1=an－1－an∴=2（n≥2），由a2=a1=1，∴an=2n－2（n≥2），∴an=_______．5、已知成等比数列，如果和都成等差数列，则2_________.6、等差数列｛an｝、｛bn｝前n项和分别为Sn和Tn，满足=，则等于_________.7、已知数列｛an｝满足a1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1

7、)(n+2)，则它的前n项和Sna1+2a2+3a3+…+nan=n(n+1)(n+2)……①a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=(n-1)n(n+1)……②由①-②得nan=n(n+1)(n+2-n+1)∴an=3n+3=6+3(n-1),a1=6，d=3.∴Sn=6n+·3=(n2+3n).=______.8、等差数列前n项和为，若，,则10________.135715131191719212331292725……………9、将正奇数按如下规律填在5列的数表中：则2007排在该表的第行，第列．（行是从上往下数，列是从左往右数第251行，第5列

8、.解：仔细观察可发现第1列偶数行是以15为首项，16为公差的等差数