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时间：2019-05-12
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1、实变函数第18讲第三章可测函数3.1.2可测函数的性质（回忆）性质1性质2若，则在可测在可测若在上可测，则在的任何可测集可测；反之，若在上可测，则在可测。性质3性质4可测函数的和，差，积，商（分母几乎处处不为零）也可测。若在均可测且则在可测。性质5在可测与在均可测；当在上可测时，在上也可测，其中§3.2可测函数的逼近定理定理1（Egoraff）3.2.1Egoroff（叶果洛夫）定理设是可测集并且，如果是上的几乎处处有限的可测函数序列，是上的可测函数，并且，则下列各断言等价：（ii），存在可测子集使得而在上一致收敛于。（i）证
2、明：设，有在上一致收敛于。特别地，对于取则，当时，有在上一致收敛于。现在，记，则，并且从而，下证：在上几乎处处收敛于事实上，对于，，使得。因为在上一致收敛于，所以，即先证：事实上，，因为，则，对于，使得因此由自然数的任意性，有：反过来，对于则使得，有从而，不失一般性，设因为，故，从而真（2）现在证：，存在可测集，使得，，，，恒有：事实上，因为，所以，有不收敛于即：所以，对于使得记，并且又记则最后证，当时，有事实上，，可取因为故使得时，对于，有从而即在上一致收敛于。得证。作业题习题三8.设f是E上的可测函数，证明：（1）对上的任
3、意开集，是可测集；（2）对中的任意闭集，是可测集；（3）对中的任意型集或型集，是可测集。9.证明：E上的两个可测函数的和仍是可测函数。10.证明：若是及上的非负可测函数，则也是上的非负可测函数。
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