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1、实变函数讲稿（第9讲）教学内容：外测度详细教案第二章测度论§2.1外侧度与可测集一、外侧度n1、中开长方体体积概念11)当n=1时，中开区间：I={xaxb<<}的长度为lb=−a.22)当n=2时，中开矩形：I={(xyaxbcyd,,)<<<<}的面积为Sbadc=−()(−).33)当n=3时，中开长方体：I={(xyzaxbcydlzh,,)<<<<<<,,}的体积Vbadchl=−()i(−−)().n因此，自然地，我们称中集合I=<{(xx12,,,""xaxbiniii)<,1=,2,,n}nn为维开长方体，记为nI=∏(ab
2、ii,)，并定义的体积为II=−∏()baii.i=1i=1n问题1对于中一般点集E，能否定义它的体积？怎样定义它的体积？2.外测度的定义n∞n定义1设E是中的一个点集，{}I是中一列开长方体，并且kk=1∞∞E⊂∪Ik，则∑Ik确定一个非空实数μ或+∞，如下：k=1k=1∞∞*mE==⊃inf{μμ∑Ikk,∪IEI,k是开长方体}，k=1k=1▉▉实变函数*这时，称mE是点集E的Lebesgue外测度.基本性质．．．．**性质1mE≥0，m∅=0∞*证明：对于任何开长方体Ik，因为Ik≥0，则∑Ik≥0.因此，mE≥0.k=1n∞n⎛⎞ε此
3、外，对于∀ε>0，取中开长方体I=⎜⎟0,n，则∪I⊃∅，则k⎜⎟2kk⎝⎠k=11∞∞∞*ε120≤mI∅≤∑∑∑k=kk=ε=εε=.221kkk===1111−2*由ε的任意性知：m∅=0.□**性质2若A⊂B，则mAmB≤.∞∞∞∞证明：因为{∑IIBkk∪⊃,Ik为长方体}⊂⊃{∑IIAkk∪,Ik为长方体}，则k=1k=1k=1k=1∞∞∞∞**mB=inf{∑IIBkk∪⊃,Ik为长方体}≥⊃inf{∑IIAkk∪,Ik为长方体}=mA.k=1k=1k=1k=1∞∞**⎛⎞性质3（次可加性）m⎜⎟∪Amkk≤∑A.⎝⎠k=1k=1∞∞
4、**⎛⎞证明：我们只需证：∀ε>0，有m⎜⎟∪Amkk≤∑A+ε.⎝⎠k=1k=1事实上，对于∀ε>0，∀n∈`，因为∞∞*mAnn=inf{∑IIAkk∪⊃,Ik为开长方体}，k=1k=1ε∞取ε=，存在一列开长方体{}I，合于n2nnkk=1∞∞**ε∪Ink⊃An并且mAnn≤∑Ink<+mAn.k=1k=1244第9讲██∞∞∞∞∞∞∞∞**ε从而,∪∪Ink⊃∪An，且∑∑Imnk≤∑An+=∑n∑mAn+ε.nk==11n=1nk==11n=1n=12n=1因为⎛⎞∞∞⎧∞∞⎫∞∞∞**m⎜⎟∪∪AAnn=inf⎨∑IImm∪⊃,Im为长
5、方体⎬≤∑∑Imnk≤+∑Anε⎝⎠nn==11⎩⎭m=1m=1nk==11n=1∞∞∞∞*⎛⎞**⎛⎞*即,m⎜⎟∪An≤∑mAn+ε，从而m⎜⎟∪An≤∑mAn.□⎝⎠n=1n=1⎝⎠n=1n=1n问题2.外测度是否是体积概念的推广？即，如果中点集I是n维长方体nnn*I=∏(abii,)或者I=∏[abii,]，是否一定有mI=−∏()baii？i=1i=1i=1下面命题1是问题2的肯定回答.nn引理1如果I是n维开长方体，即I=∏(abii,)，则I的闭包I=∏[]abii,.i=1i=1()kkk()()证：∀∈xI，设x=(xx1,,"
6、n)，∃=xxxI(1,,"`n)∈∈()k，有n2()kk()(k)ρ()xx,0=−∑()xxii→()k→∞，故∀iin(1≤≤)，有xii∈()ab,i，i=1nn(k)有xii→∈xab[i,i]，即x=∈()xx1,,"ni∏[a,bi]，故I⊂∏[]abii,.i=1i=1n反过来，∀=x()xx1,,"ni∈∏[a,bi]，则∀iin(1≤≤)，有axbii≤≤i.i=1∞()k(k)所以存在一串点列{xii}⊂(ab,i)，有xi→xi，现对于k∈`，作k=1∞()kkk()()()kx=(xx1,,"n)，{x}是I中点列，并且，
7、k=1n2n()kk()ρ()xx,0=−∑()xxii→，故x∈I，即∏()abii,⊂I，从而i=1i=1nI=∏[abii,].□i=1命题1如果I是n维开长方体或者是从某个n维长方体中挖去有限个长方体45▉▉实变函数**后的剩余部分，则mI=I并且mI=I.证明：以n=2的情形进行证明（p.37-38）.注：外测度确实是体积概念的一种推广，然而，遗憾的是：外测度不具有体积所具有的“有限可加性”和“可数可加性”特征.nk体积的有限可加性：对于中有限个两两不相交的的立体{}I，其总体．．．．．．．．ii=1k积I=∑Ii.i=1n∞体积的可数可
8、加性：对于中可数个两两不相交的立体{}I，其总体积．．．．．．．．ii=1k∞I==lim∑∑IIii.k
