高中数学三角函数的图象与性质

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1、第三节　三角函数的图象与性质1．周期函数和最小正周期对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，则称f(x)为周期函数，T为它的一个周期．若在所有周期中，有一个____的正数，则这个最小的正数叫做f(x)的________________．f(x＋T)＝f(x)最小最小正周期2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质x∈Rx∈R[－1，1][－1，1]R[2kπ，2kπ＋π]－1x＝kπ，k∈Z1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】不一定．如常数函数f(x)＝a，每一个非零数都是它

2、的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？【提示】y＝sinx与y＝cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x.对称中心的横坐标都是它们的零点．【答案】D【答案】A【答案】C【答案】＞1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法．(1)形如y＝asinx＋bcosx＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c的三角函数，可先设sinx＝t，化

3、为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求解．【思路点拨】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f(x)解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域．1．求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．2．求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中，ω＞0)的单调区间

4、时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．【思路点拨】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．1．判断三角函数的奇偶性和周期性时，一般先将三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．2．求三角函数的周期主要有三种方法：(1)周期定义；(2)利用正(余)弦型函数周期公式；(3)借助函数的图象．【答案】A求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sinx、cosx的有界性；(2)化为y＝As

5、in(ωx＋φ)＋k的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．从近两年高考试题看，三角函数的周期性、奇偶性、单调性、值域等是高考的热点内容，常与三角变换等知识交汇，在考查三角函数图象与性质的同时，注重考查三角变换的技能，及数形结合、转化与化归等数学思想．创新探究之四　三角函数单调性的创新应用【答案】A创新点拨：(1)题目背景创新，已知三角函数在给定区间上的单调性，求参数的取值范围，考查了学生的逆向思维．(2)解法创新，本题有多种解法，但每种解法

6、都是建立在对三角函数的单调性深刻理解基础之上的．应对措施：(1)此类题目不管背景如何新颖，都是考查对基础知识的理解与掌握，求解时可从基础知识、基本方法入手．【答案】B课后作业（十八）