把定积分的元素法推广到重积分的应用中

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1、§4.重积分的应用元素法（微元法）:把定积分的元素法推广到重积分的应用中.1.设某一问题中的所求量Q与变量X(X=(x,y),或者X=(x,y,z))的变化区域Ω(Ω=D,Ω)有关；nn2.Q关于Ω具有可加性，即Ω=∑∆Ωi,Q=∑∆Qi；i=1i=13.存在函数f(X),X∈Ω,使得∆Q≈f(X)∆Ω,则iiiQ=∫f(X)dΩdQ=f(X)dΩ：Q的元素（或微元）Ω其中，当Ω=D,L时，∫f(X)dΩ=∫∫f(x,y)dσ,ΩD当Ω=Ω时，∫f(X)dΩ=∫∫∫f(x,y,z)dv.ΩΩ一、重积分在几何上的应用1.面积平面图形的面积设D为平面上的有界闭区域，则D的面积σ=

2、∫∫dσ.D例1求由r≥a,r≤2acosθ确定的平面图形的面积.⎧r=a,解σ=∫∫dσ,⎨DD⎩r=2acosθ1ππ⇒cosθ=,交点(a,),(a,−),233π⎧ππ2acosθ3π2⎪−≤θ≤,23rdr=a(+).D:⎨33∴σ=∫dθ∫0a23⎪⎩a≤r≤2acosθ.空间曲面的面积1.设曲面Σ的方程为：z=f(x,y),(x,y)∈D.xy计算曲面Σ的面积A.dσdS=dA=,(∆S≈∆A)cosγ由于Σ的法向量为G⎧∂z∂z⎫n=⎨−,−,1⎬,⎩∂x∂y⎭1∴cosγ=,22⎛∂z⎞⎛∂z⎞1+⎜⎟+⎜⎜⎟⎟⎝∂x⎠⎝∂y⎠于是22⎛∂z⎞⎛∂z⎞dS=

3、1+⎜⎟+⎜⎜⎟⎟dσ⎝∂x⎠⎝∂y⎠22即dS=1+f+fdσ(曲面Σ的面积元素)xy于是曲面Σ的面积A为：22A=1+f+fdσ,∫∫xyDxy22⎛∂z⎞⎛∂z⎞即A=∫∫1+⎜⎟+⎜⎜⎟⎟dxdyD⎝∂x⎠⎝∂y⎠xy同理可得２．设曲面Σ的方程x=g(y,z),(y,z)∈Dyz为：22⎛∂x⎞⎛∂x⎞曲面面积公式为：A=∫∫1+⎜⎜⎟⎟+⎜⎟dydz;D⎝∂y⎠⎝∂z⎠yz３．设曲面Σ的方程y=h(z,x),(z,x)∈D.zx为：22⎛∂y⎞⎛∂y⎞曲面面积公式为：A=∫∫1+⎜⎟+⎜⎟dzdx.D⎝∂z⎠⎝∂x⎠zx2222例2求球面x+y+z=a，含在圆柱体2

4、2x+y=ax内部的那部分面积.解由对称性知A=4A,122(x,y≥0)D：x+y≤ax1222曲面方程z=a−x−y,a于是22=1+z+z222,xya−x−y22aA=41+z+zdxdy=4dxdy∫∫xy∫∫222D1D1a−x−yπacosθ1222=4a∫dθ∫rdr=2πa−4a.00a2−r22222例3求由曲面x+y=az和z=2aPar88amet−ricPlot3Dx@+y8rCos@tD,rSin@tD,6-r<,8rCos@tD,rSin@tD,r^23<,8rCos@tD,rSin@tD,0,RGBColor@1,0,0D<<,8r,0,3<,

5、(a>0)所围立体的表面积.t,0,2Pi<,ViewPoint->82.521,-1.629,0.324

6、1222=∫dθ∫a+4r⋅rdr+2πa00a2πa=(62+55−1).62.体积设有一个空间立体占据空间区域Ω，则Ω的体积可表示为:V=∫∫∫dV.Ω如果Ω可用不等式表示为:z(x,y)≤z≤z(x,y),(x,y)∈D,12则V=[z(x,y)−z(x,y)]dσ∫∫21D22222例4求由曲面(z−1)=x+y和z=−1−x−y所围立体的体积。1y0.50解V=dV-0.5∫∫∫-11Ω0.52222z=∫∫(1−x+y+1−x−y)dσ0-0.5D-1-121-0.5π20()x0.5=dθ1−r+1−rrdr∫∫100233rr1212=2π[−−(1−r)]0

7、233=π二、重积分在物理上的应用1、质量一般地，设几何体Ω上分布着质量，Ω的密度函数为连续函数ρ(X),则Ω的质量为:M=∫ρ(X)dΩ,Ω当Ω=D,Ω时，公式中的积分分别是二、三重积分.另：当ρ(X)≡1时，积分的数值等于几何体的几何度量(面积、体积).2.质心设xoy平面上有n个质点，它们分别位于(x,y)，(x,y)，",(x,y)处，质量分别1122nn为m,m,",m．则该质点系的质心的坐标为12nnnM∑mixi∑miyiyi=1Mxi=1x==，y==．nnMM∑mi∑mii=1i=1n