指数函数与对数函数两个反函数的交点问题

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1、指數函數與對數函數兩個反函數的交點問題第一頁/共八頁一般課本都有下面這一段：a>1時00,a≠1,a=logx的實數解即為y=a與y=logx兩圖形交點x的坐標。aaxx試證：P(,)αβ是y=a與y=logx兩圖形交點⇔Q(,)βα是y=a與y=logx兩圖形交點。aaxPf：P(,)αβ是y=a與y=logx兩圖形交點aα⇔β=a且β=logα成立aβ⇔α=logβ且a=α成立ax⇔Q(,)βα代入y=logx且y=a均成立ax⇔Q(,)βα是y=a與y=logx兩圖形交點a預

2、備知識：()1e≈271828.()21≈036788.()32≈073576.ee1−1()4ee≈1515421.()51=e−e≈0066.()6ee=ee≈1444.eex(定理二)(1)a>0,a≠1,y=a與y=x相切於(,)αα試求α=?,a=?(2)同上題,試證y=logx亦與y=x相切於(,)ααaαx/pf：(1)由題意知a=α且y=fx()=a滿足f()α=1xdxdlnadxlnaxlnad再由a=e=e=e(ln)xadxdxdxdxxlnax=eilna=ailna/x/α⇒f()x=ailna⇒f()α=ailna=1αa=α由⇒αi

3、lna=1............()甲甲甲αailna=1αα再由a=α⇒lna=lnα⇒αlna=ln.........(α乙乙乙)由(甲)(乙)知lnα=⇒1α=e代入(甲)11得eilna=⇒1lna=⇒1a=eea=ee≈1444.時e1xey=a與y=logx相切於(e,e)⇒切點坐標為(,)ee且a=e≈1444.a(2)令gx()=logax=log1x=elogexee⇒ge()=eloge=eegx/()=⇒ege/()==e1xe指數函數與對數函數兩個反函數的交點問題第二頁/共八頁1定理三：(1)a>ee時,y=ax與y=x兩圖形無交點且y=a

4、x圖形恒在y=x直線的上方。1(2)a>ee時,y=logx與y=x兩圖形無交點且y=logx圖形恒在y=x直線的下方。aa1(3)a>ee時,y=logx與y=ax兩圖形無交點。a1Pf：(1)a>ee>1時令hx()=ax−xxxxCase1：x<0時a>0,,−>x0⇒hx()=a−=xa+−(x)>0恒成立。x00Case2：x=0時a=a=⇒1h()0=a−=01>0成立。11Case3：x>0時,令kx()=()eex−x⇒kx/()=()eexi1−1e11當x=e時,ke()=()eee−=e0且ke/()=()eeei1−=10e111111當x>e

5、時()eex>()eee⇒()eexi1>()eeei1⇒()eexi1−>1()eeei1−1eeee//⇒kx()>ke()=0即x>e時,k(x)是漸增函數⇒kx()>ke()⇒kx()>0111111當xke()⇒kx()>0由以上知x>0時k(x)≥0恒成立111由x>0且a>ee>1時ax>()eex⇒ax−>x()eex−⇒xhx()>kx()≥0⇒hx()>0

6、x由case1,case2,case3知：任何x∈R時則必hx()>0即y=a圖形恒在y=x直線的上方1(2)a>ee>1時,y=logx與y=ax對稱於y=x直線axx由(1)知y=a與y=x無交點且y=a恒在y=x直線的上方⇒y=logx與y=x無交點且y=logx恒在y=x直線的下方。aax(3)由(1)(2)可推得y=logx與y=a兩圖形無交點a1a>ee≈1444.>1時xy=a與y=logx的圖形無交點a指數函數與對數函數兩個反函數的交點問題第三頁/共八頁1定理三：(1)1

7、x與y=x兩圖形恰有兩個交點a1(3)10,,−>x0⇒hx()=a−=xa+−(x)>0恒成立。x00Case2：x=0時⇒a=a=⇒1h()0=a−=01>0成立。11Case3：x>0時,,令kx()=()eex−x⇒kx/()=()eexi1−1e由定理二知：k(x)在x=e時有最小值ke()=0且x≠e時kx()>0111若x>0且1