有限元与变分

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1、有限元与变分有限元算法是利用微分方程与变分原理的形式一致性而提出的求解微分方程的算法。其主要优势在于对边界条件的处理。对一个微分方程的问题，其可以等价于一个变分问题，这其中有两种等价方案：Galerkin变分原理和Ritz变分原理。Galerkin变分原理是在原微分方程两边同乘以一个检验函数，同时积分，左右分别几何含目标函数和不含目标函数的项，得到的等式变分原理。Ritz变分原理是直接求解泛函的极值，得到微分方程的等价形式。两种原理得到的结果是一样的。强制边界条件与自然边界条件的处理方法不同，强制边界条件出现于容许空间和检验空间的构造中，自

2、然边界条件出现于变分方程中。解方程之前必须突出说明。Galerkin变分原理和Ritz变分原理得到的解是弱解。弱解的存在唯一性和弱解与古典解的关系由Lax-Milgrim定理保证。数值求解方程的基本出发点是使用有限维空间逼近无限维的能量空间。在取定的有限维有限元空间中取定基函数，令目标函数和检验函数均位于有限元空间中并被基函数线性表示，则由检验函数的任意性或者是极值的KKT条件得到一个线性方程组，即刚度矩阵。刚度矩阵的对称正定性保证了解得存在唯一性，也给出了数值解用基函数表示的具体方法。有限元算法的一个核心技巧在于基函数的构造方法，不是直接

3、的节点构造，而是分片的构造方法。基函数系有Lagrange型基函数系和Hermite型基函数系两种。首先将求解空间划分为若干个元素，每个元素内构造独立的r阶外形函数，函数个数与元素内所有节点的自由度之和相同。节点分为元素内部的内节点和元素边界的外节点。对于每个节点，有所有包括这个节点的元素组成影响区域，由每个元素中在这个节点不为零的外形函数线性迭加得到这个节点的各阶基函数。所有的节点都照此处理，得到基函数系。有限元算法的另一个核心技巧在于整体刚度矩阵和单元刚度矩阵的关系。由Galerkin-Ritz双线性函数的性质得到在积分式中，alfa和

4、beta项的值完全取决于alfa和beta节点的共同影响区域中所有元素的外形函数的积分，由于交叉项为零，所以共同影响区域的刚度项完全取决于每个元素内的单元刚度矩阵的迭加。因此我们可以得到结论，整体刚度矩阵可以由单元刚度矩阵迭加而成，而不必单独计算。由此我们可以看到每个元素内部的节点编号顺序对矩阵的生成和迭加速度有致命影响。对于发展方程的处理，我们可以先对时间项实用半离散化，得到从第N步到第N+1步的变换方程，将第N步的函数值作为已知量带入方程，得到关于第N+1步函数的方程，求解即可。计算力学是根据力学中的理论，利用现代电子计算机和各种数值方

5、法，解决力学中的实际问题的一门新兴学科。它横贯力学的各个分支，不断扩大各个领域中力学的研究和应用范围，同时也在逐渐发展自己的理论和方法。计算力学的发展简史近代力学的基本理论和基本方程在19世纪末20世纪初已基本完备了，后来的力学家大多致力于寻求各种具体问题的解。但由于许多力学问题相当复杂，很难获得解析解，用数值方法求解也遇到计算工作量过于庞大的困难。通常只能通过各种假设把问题简化到可以处理的程度，以得到某种近似的解答，或是借助于实验手段来谋求问题的解决。第二次世界大战后不久，第一台电子计算机在美国出现，并在以后的20年里得到了迅速的发展。2

6、0世纪60年代出现了大型通用数字电子计算机，这种强大的计算工具的出现使复杂的数字运算不再成为障碍，为计算力学的形成奠定了物质基础。与此同时，适用于计算机的各种数值方法，如矩阵运算、线性代数、数学规划等也得到相应的发展；椭圆型、抛物型和双曲型微分方程的差分格式和稳定性理论研究也相继取得进展。1960年，美国克拉夫首先提出了有限元法，为把连续体力学问题化作离散的力学模型开拓了宽广的途径。有限元法的物理实质是：把一个连续体近似地用有限个在节点处相连接的单元组成的组合体来代替，从而把连续体的分析转化为单元分析加上对这些单元组合的分析问题。有限元法和

7、计算机的结合，产生了巨大的威力，应用范围很快从简单的杆、板结构推广到复杂的空间组合结构，使过去不可能进行的一些大型复杂结构的静力分析变成了常规的计算，固体力学中的动力问题和各种非线性问题也有了各种相应的解决途径。另一种有效的计算方法——有限差分方法也差不多同时在流体力学领域内得到新的发展，有代表性的工作是美国哈洛等人提出的一套计算方法，尤其是其中的质点网格法(即PIC方法)。这些方法往往来源于对实际问题所作的物理观察与考虑，然后再采用计算机作数值模拟，而不讲究数学上的严格论证。1963年哈洛和弗罗姆成功地用电子计算机解决了流体力学中有名的难

8、题——卡门涡街的数值模拟。有限差分法finitedifferencemethod释文：有限差分是一种常用的数值解法，它是在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差