第三章变分原理与有限元方法

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1、变分理论与数值分析方法教案（第三章变分原理与有限元方法）蔡中义变分理论与数值分析方法第三章变分原理与有限元方法泛函的极值函数可以通过求解相应的Euler方程（微分方程的边值问题）来获得，另一方面，也可以通过求解泛函的极值函数获得相应微分方程的解。这就是说，求解微分方程边值问题等价于求解相应泛函极值问题，这种相关性通常叫做变分原理。把这一原理应用于各类物理问题就构成了各种物理问题的变分原理，变分原理是以积分形式表达的物理定律，这种积分形式的泛函常常代表能量，习惯上也把微分方程边值问题转化为泛函极值问题的求解方法叫做能

2、量法，如力学中的最小势能原理、虚功原理等。实践告诉我们，微分方程边值问题的求解往往比较困难，而从泛函变分求微分方程近似解常常容易些，可以采用Ritz方法、有限元法等。这种方法的关键问题是要找到以所给微分方程为其Euler方程的泛函，这一泛函如何构造？本章主要介绍典型的微分方程、偏微分方程的变分原理，并通过微分方程的有限元求来说明有限元方法的基本思想。§3.1预备知识为了叙述方便，先介绍几个基本概念。§3.1.1函数的内积【定义】定义域在上的连续函数u(P)、v(P)（P）乘积在上的积分u,vu(P

3、)v(P)d（3.1.1-1）称为函数u(P)，v(P)在区域上的内积。若u,v0，称u与v正交。由（3.1.1-1）式可以看出，两个函数的内积是一个实数，它由积分值所确定。从内积的定义可以得到内积的如下性质：设为u(P)、v(P)、u(P)、u(P)是定义域在上的连续函数，、是任意实数，则12①对称性：u,vv,u②线性：(uu),vu,vu,v1212③非负性：u,u0④u,u0u(P)0，P证①u,vu(P)v(P)dv

4、(P)u(P)dv,u(uu),v[u(P)u(P)]v(P)d1212②u(P)v(P)du(P)v(P)d12u,vu,v122③u,uu(P)d02④若u(P)0，P，则u(P)d0。1第三章变分原理与有限元方法2若uu,(uPd)0，则应有u(P)0，P。否则，必有一点P*，在该点u(P*)0。因u(P)在上连续，所以必存在P*的某个领域G，在该邻域上u(P)0，从而22uu,(

5、uPd)(uPdG)0G这与假设矛盾。例1ucosx，vx定义在[0,]上，求u,v解u,vxcosxdx(xsinx)sinxdxcosx20000§3.1.2算子[1]1.算子的概念【定义】给定两个集合M，D。若M中的每一个元素u（uM）对应于D中的一个元素L(u)（L(u)D），则称L为算子,即L:MD。集合M称为算子L的定义域，集合D称为算子L的值域。算子L是将空间M转变为空间D的一种变换，M与D可以相同也可以不同。[14]例微分算子2设M为二阶连续

6、可微函数空间C[a,b]，对于任意的y(x)Mddy(x)L(y)[p(x)]q(x)y(x)dxdxp(x)y''(x)p'(x)y'(x)q(x)y(x)其中p(x)，q(x)为已知函数。若D为[a,b]上连续函数空间C[a,b]，则M中的每一个元素y（yM）,对应于D中的一个元素L(u)（L(u)D）。L就是一个微分算子，记L:MD为ddL[p(x)]q(x)dxdx如果给定f(x)C[a,b]，则Ly()fx()是算子方程。例积分算子2对于任意的y(x)M（M:L[a,b]

7、）bT(y)K(x,t)y(x)dta其中，K(x,t)是矩形域[a,b][a,b]中的二元连续函数。2T就是一个积分算子。如果给定f(x)L[a,b]，则bT(y)K(x,t)y(x)dtf(x)a即为算子方程Ty()f。2变分理论与数值分析方法本课程只涉及微分算子，一般情况下，提到的算子都是指微分算子。例微分方程的边值问题可以写成微分算子方程的形式，如22uuf(x,y)(x,y)22（3.1.2-1）xyup(x,y)为的边界该微分方程的解u(x,y)在区域

8、内满足（3.1.2-1）的第一式，在边界上满足（3.1.2-1）的第2二式。这意味着u(x,y)C()，且在边界上等于p(x,y)。记算子（Laplace算子）2222xy则（3.1.2-1）写成算子方程uf，uM其中微分算子的定义域M是所有在区域二阶可微、在边界上等于p(x,y)的函数的集合，即：2M:{u(x,y),u(x,