第二章 晶格热振动

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1、第二章晶格热振动ThermalVibrationofLattice2.0引言一、基本内容一维晶格热振动，色散关系，周期性边界条件三维晶格热振动的特点和一般规律晶格热振动的量子化，声子声子统计分布函数，晶格热振动能晶格比热的Einstein模型晶格比热的Debye模型晶格热传导二、学习要点掌握格波的概念和色散关系正确理解声子的概念及其统计分布掌握态密度的求法熟练掌握固体比热的计算方法掌握声子的碰撞过程及其对固体热导的影响2.1一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动amuu

2、nun+1n-1一维简单晶格位移示意图u:--第n个原子偏离平衡位置的位移nm:--原子质量2.1一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动1.简谐近似V(r)2dVx()1dVx()2VxV()=(0)+++xxL2dx2dxx=0dVx()=0dxx=0r21(dVx)令：β＝22dx抛物线近似选择合适的势能零点，有12Vx()=βx2简谐近似dVx()f()xx=−=−βdx2.1一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动2.振动方程第个n原子受力:Fn=β(un+1−un)−βun

3、(un−un−1)=β(un+1−un−1+2un)2dun牛顿方程：m2=β(un+1+2un−un−1)dt−i(ωt−nqa)试探解：u=Aen2β将特解代入牛顿方程得：ω=(1−cosqa)2m2.1一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动3.格波及色散关系ω（1）q的物理意义，λ＝2π/q讨论格波的概念色散关系：22ββqaω=−=(1cosqa)sin22mm-π/aπ/aqβqaω=sinm2q的取值限定在第一布里渊区内2.1一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动4.长

4、格波极限当：λ→∞→,0qωqω相速度：v=p类似于连续介质中的弹性波q称之为：声学振动dω群速度：=vgdqvv=pq2.1一维晶格（原子链）的热振动一、一维简单晶格的热振动4.周期性边界条件与q的取值周期性边界条件−i(ωt−nqa)un=un+Nun=eiqNae=12lπ2πl=0,±1,±2,⋅⋅⋅qNa=2lπq==lNaNaππ−≤≤qaaN个q，独立振动的模式数与自由度相等NNl:−→222.1一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动1.位移分析aMmuvunvnun+1n-1

5、n-1u--第n个m原子偏离平衡位置的位移nv--第n个M原子偏离平衡位置的位移nm:--原子质量M:--原子质量a:--晶胞常数2.1一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动2.振动方程2dunM=+β(2uuv−)2nnn+1牛dt顿2du方n(vv2u)m=β+−2nn−1n程dt−i(ωt−nqa)试un=Ae探−i(ωt−nqa)解v=Ben2.1一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动3.色散关系将试探解代入牛顿方程可以得到：2−iqa(mω−2β)A+β(e+1)B=0−

6、iqa2β(e+1)A+(mω−2β)B=0关于A,B齐次方程组无穷多解,有非零A,B解条件是方程组系数行列式为零，可以得到一个关于ω2的一元二次方程，解得：22β21[(2mMmMmMqacos)2]ω=+++++mM22β21[(2cos)2]ω=+mMmM−++mMqa−mM2.1一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动3.色散关系ω光学支ω+ω-声学支q-π/aπ/a2.1一维晶格（原子链）的热振动二、一维复式晶格的热振动4.周期性边界条件及q的取值un=un+N⇔u1=uN+1周期边界

7、条件v=v⇔v1=vN+1nn+NiqNae=12lπ2πl=0,±1,±2,⋅⋅⋅qNa=2lπq==lNaNaππω光学支N个振动模式−≤≤q＋N个q，2N个独立振aa动的模式数与自由l:−→NNω光学支N个振动模式度相等－222.2三维晶格的热振动二、一维复式晶格的热振动5.长波极限q→0⎛⎞Amω所代表的振动⎜⎟→−+⎝⎠BM+单胞质心不动，异类原子相向运动，离子晶体可以同光波发生强烈相互作用，故称为光学振动，光学模频率高,用激光可激发该振动iqa所代表的振动⎛A⎞β(1+e)⎛⎞Aω−⎜⎟=〉0

8、⎜⎟→12⎝B⎠−2β−mω⎝⎠B−单胞内异类原子同向运动，频率与波矢成线性关系，与连续介质中的弹性波类似，故称为声学振动，声学波可以用声波激发其振动2.2三维晶格的热振动三、三维复式晶格的热振动的一般规律1.q取值1.周期性边界条件同样实用于三维晶体2.可以找到一组坐标变换，可以将三维晶格振动处理成独立的简谐振动3.所以可以得出，q的取值与一维情况是相近的，而且，波矢同样要限制在第一布里渊区以内。2.2三维晶格的热振动三、三