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1、立体几何培优试题（教师版）1.如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长PABCDQ解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，，，．（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为，．设平面的法向量为，则，，即．令，解得，．所以是平面的一个法向量．从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．（2）因为，设（），10【考点定位】空间向量、二面角、异面直线所成角2.如图，三棱锥中，平面分别为线段上的点，且（1）证明：平面（2）
2、求二面角的余弦值。试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由平面，可知，再分析已知由得，这样与10垂直的两条直线都已找到，从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角的大小，本题中，由于，平面，因此两两垂直，可以他们为轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，解：(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE[来源:Zxxk.Com]由CE＝２，CD=DE＝得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD(2)解：由（１）知，CDE为等腰
3、直角三角形，DCE＝，如图，过点Ｄ作DF垂直CE于Ｆ，易知DF＝FC＝EF＝１，又已知EB＝１，故FB＝２．由ACB＝得DFAC，，故AC＝DF＝．以Ｃ为坐标原点，分别以的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，Ａ(,0,0),Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，设平面的法向量，10从而法向量，的夹角的余弦值为，故所求二面角A-PD-C的余弦值为.【考点定位】考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力．3.【2015高考湖北，理19】《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳
4、马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接（Ⅰ）证明：．试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写10出结论）；若不是，说明理由；（Ⅱ）若面与面所成二面角的大小为，求的值．故是面与面所成二面角的平面角，设，，有，在Rt△PDB中,由,得,则,解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时，.10（解法2）（Ⅰ）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设，，则，，点是的中点，所以，，于是，即.又已知，而，所以.因,,则,所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形
5、，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为.（Ⅱ）由，所以是平面的一个法向量；由（Ⅰ）知，，所以是平面的一个法向量.若面与面所成二面角的大小为，学科网则，解得.所以故当面与面所成二面角的大小为时，.【考点定位】四棱锥的性质，线、面垂直的性质与判定，二面角.104.如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标可知问题等价于证明；（2）根据条件二面角的余
6、弦值为，利用空间向量可将四面体视为以为底面的三棱锥，其高，从而求解学科网试题解析：解法一由题设知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直10∴，而二面角的余弦值为，因此，解得，或者（舍去），此时，设，而，由此得点，，∵平面，且平面的一个法向量是，∴，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.10解法二（1）如图c，取的中点，连结，，∵，是梯形的两腰，是的中点，∴，于是由知，，∴，，，四点共面，由题设知，，，∴平面，因此①，∵，∴，因此，于是，再由①即知平面，又平面，故；（2）如图d，过点作交于点，则平面，∵平面，∴平面，过
7、点作于点，连结10，则，为二面角的平面角，∴，即，从而③连结，由平面，∴，又是正方形，所以为矩形，故，设，则④，过点作交于点，则为矩形，∴，，因此，于是，∴，再由③④得，解得，因此，故四面体的体积.【考点定位】1.空间向量的运用；2.线面垂直的性质；3.空间几何体体积计算.10
