7曲线积分与曲面积分

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1、第七章曲线积分与曲面积分（仅数学一）【大纲要求】：1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.2.掌握两类曲线积分的计算方法.3．掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分函数的原函数.4．了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握两类曲面积分的计算方法，掌握利用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.5．了解散度、旋度的概念，并会计算.6．会用曲线积分及曲面积分计算一些几何量和物理量（平面图形的面积、体积、曲面的面积、弧长、质量、质心、

2、形心、转动惯量、引力、功及流量等）.一、曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）【定义7.1】设曲线是平面上的分段光滑曲线，是定义在曲线上的有界函数，则在曲线上的第一类曲线积分为其中表示第个小弧段长度，为这个小弧段长度的最大值.（2）性质性质1设为常数，则.性质2设由和两段光滑曲线组成(记为)，则性质3设在有，则性质4（中值定理）设函数在光滑曲线上连续，则在上必存在一点，使其中是曲线的长度.性质5对称性（1）曲线关于坐标轴的对称性①若曲线关于轴对称，则有其中为在轴上方部分.②曲线关于轴对称，则有其中为在轴右方部

3、分.（2）积分关于积分变量的对称性若在曲线的方程中，与对调后方程不变，则有.（3）计算方法①直接计算法（参数方程法）ⅰ）如果曲线的方程为，则ⅱ）如果曲线的方程为，则ⅲ）如果曲线的方程为，则ⅳ）如果曲线的方程为，则注意：以上计算中要注意两点：①曲线的方程的参数形式已知（参数可以不同），即一定要把曲线的方程化为参数方程；②积分的下限一定要小于上限即积分限必须由小到大（与起点终点大小无关）。②利用积分曲线与积分变量的对称性计算.【题型一】第一类曲线积分的计算【例1】求，其中为.【解答】：【例2】求，是椭圆在第一象限的部分.【解答

4、】：【例3】求，其中是，且的周长为.【解答】：【例4】求，其中是点到点的直线段.【解答】：【例5】求，其中：.【解答】：【例6】计算，其中：.【解答】：2．第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）【定义7.2】设曲线为平面上从点到点的有向光滑曲线，为曲线上的有界函数，则沿曲线的第二类曲线积分为其中为这个小弧段长度的最大值.（2）性质性质1设L是有向曲线弧,是与L方向相反的有向曲线弧，则；即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.性质2如由和两段光滑曲线组成，则.（3）计算方法①直接计算法（参数方程法）：如果曲线的参数方程为则.

5、其中是指参数的的起点值到参数的终点值（它可以由小到大，也可以由大到小。必须强调的是：它是的起点值终点值）。如果曲线的方程为起点为a,终点为b，则如果曲线的方程为起点为c,终点为d，则②间接计算法（利用格林公式，与路径无关，求原函数法）ⅰ）格林公式（格林定理）：设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数及在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线.注意：1）公式使用条件：①和在上连续；②L的方向为正方向，即某人沿着的方向行走时，区域始终在他的左手边（可简单的理解为外边界是逆时针方向，内边界是顺时针方向）③必须是封

6、闭的.2)结论：把第二类曲线积分转化为二重积分的计算.3）用法技巧：①条件不满足时，创造条件（连续、正向、封闭）尽可能使用格林公式；②常用技巧：补线，挖洞、换曲线（当积分值与路径无关时）。ⅱ）曲线积分与路径无关的定理：设开区域是一个单连通域，函数及在内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：（）曲线积分在内与路径无关；（）表达式为某二元函数的全微分；（）在内恒成立；（）对内任一闭曲线，.注意：①利用线积分与路径无关解题条件：和在单连通区域上连续；②结论：在单连通的条件下：（）在内与路径无关（判别与路径无关的充要条件）.（）存在

7、函数使得（）在内与路径无关选择路径的一般经验是：平行于坐标轴的路径（方便，简单）.（）存在函数使得，则的求法：【方法一】线积分法：注意：常常如下取：或【方法二】偏导数法：由，两边求导，由，积分求出进一步求出.【方法三】凑微分法：利用凑微分，把.3.空间曲线积分的计算（1）直接法（参数方程法）：设曲线的方程为，，则.（2）间接法—利用斯托克斯公式.斯托克斯公式：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式为了便于记忆，斯

8、托克斯公式常写成如下形式：注意：①斯托克斯公式的作用：把空间曲线积分与曲面积分的相互转化.②使用公式的关键是：有L后如何选取相应的曲面，可以选曲面，也可以选平面，一般选平面方便.4.两类曲面积分的关系其中是有向曲线L的切线的方向余弦.值得注意的是，曲线积分给出的往往是L的法线方向，因此在计算中必须将法线