3.分式方程的解法及应用

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1、分式方程的解法及应用要点一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.要点二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增

2、根，所以解分式方程时必须验根.解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.要点三、解分式方程产生增根的原因方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，

3、分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.要点四、分式方程的应用分式方程的应用主要就是列方程解应用题.步骤进行：【典型例题】类型一、判别分式方程1、下列方程中，是分式方程的是（）．A．B．C

4、．D．，（，为非零常数）【答案】B；【解析】A、C两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D项中的方程尽管含有分母，但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B项中的方程符合分式方程的定义．【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．类型二、解分式方程2、解分式方程（1）；（2）．解：（1）解方程，得．（2解这个方程，得．【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根．举一反三：【变式】解方程：．【答案】解：，方程两边都乘，得，解这个方程，得

5、，检验：当时，，∴是增根，∴原方程无解．类型三、分式方程的增根3、为何值时，关于的方程会产生增根？【思路点拨】若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值．【答案与解析】解：方程两边同乘约去分母，得．整理得．∵原方程有增根，∴，即或．把代入，解得．把代入，解得．所以当或时，方程会产生增根．【总结升华】处理这类问题时，通常先将分式方程转化为整式方程，再将求出的增根代入整式方程，即可求解．举一反三：【变式】4如果方程有增根，那么增根是________．【答案】；提示：因为增根是使分式的分母为零的根，由分母或可得．所以增根是．类型三、分式方程的增根5、（1）若

6、分式方程有增根，求值；（2）若分式方程有增根，求的值．【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则，即或，然后把代入由分式方程转化得的整式方程求出的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，把代入解出的值.【答案与解析】解：（1）方程两边同乘，得．∴．∴．由题意知增根为或，∴或．∴或．（2）方程两边同乘，得．∴．∴．∵增根为，∴．∴．【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．举一反三：【变式】6.已知关于的方程无解

7、，求的值．【答案】解：方程两边同乘约去分母，得，即．①∵，即时原方程无解，∴，∴．②∵当时，整式方程无解，∴当时，原方程无解．综上所述，当或时，原方程无解．7.已知关于的方程有一个正数解，求的取值范围．解：方程两边同乘约去分母，得．整理，得．∵∴解得且，∴当且时，原方程有一个正数解．类型四、分式方程的应用8、甲、乙两班参加绿化校园植树活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵树所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等．求甲、乙两班每小时各种多少棵树