微分几何第四章主曲率主方向

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1、Weingarten映射和主曲率设Sr:ruv(,)是一个正则曲面，nnuv(,)是它的单位法向量.向量函数nuv(,)定义了一个2映射n:S:(,)uvnuv(,)，映射n诱导了映射12gnr:SS:(,)ruvgruv((,))nuv(,).2这个映射gS:S称为Gauss映射.2注意Gauss映射的象不一定是S的一个区域.2Gauss映射g的切映射g:TSpTgp()S是一个线性映射，满足gdr()dn，即grdurdu()ndundv，drTS，pS.(3.2)uvuvp特别有gr()uun，gr()vvn.(3.4)2因为nuv(,)

2、同时也是TSgp()的法向量，S在puv(,)2点的切平面与S在gp()点的切平面是平行的，从而在2自由向量的意义下可将TSgp()与TSp等同.2定义线性映射Wg:TSpTSpTgp()S称为曲面S在p点的Weingarten变换(Weingartentransformation).Wdr()Wrdurdv()dn(ndundv)TSuvuvp，drTSp.定理3.1IIWdr()dr.定理3.2相对于切空间的内积，Weingarten变换WTS:ppTS是自共轭(对称)的，即Wdr()rdrW(r)，dr,rTSp.证明Wdr()r

3、dnr(ndundv)(rurv)uvuvLduuMduvMdvuNdvv(rdurdv)(nunv)uvuvdr(n)drW(r).主曲率和主方向定理3.3在曲面S上任意一点p处，W的2个特征值12,正好是曲面S在p点的主曲率，对应的特征方向是曲面S在p点的主方向.证明取TSp的由W的特征向量构成的单位正交基ee,，使得12We()e，We()e，(3.12)111222并设12.对任意一个单位切向量eTSp，可设ecosesine.(3.13)12则有We()cosWe()sinWe()

4、cosesine.(3.14)121122于是沿切方向e的法曲率为IIWee()()nnIee22(cosesine)(cosesine)cossin.11221212由12可知22()cos()()sin，2212n1121并且n()在0时取最大值1，在/2时取最小值2.所以12,就是曲面S在p点的主曲率12,，相应的切方向ee,就是主方向.□12定理3.4(Euler公式)设ee12,是p点的2个正交的单位特征向量，对应的主曲率为12,.则对任意单位切

5、向量Xcose12sineTSp，沿着X方向的法曲率为22()cossin.n12在曲面S上一点p处，如果12，则由Euler公式可知沿任何切方向dudv:，都有IIIn，这样的点称为脐点(umbilicalpoint).此时在该点有LE:MF:NG:.当0时，该点称为平点(planarpoint)；当0时，该点称为圆点(circlepoint).定理1.1和定理1.2的推论曲面S是平面(或其一部分)，当且仅当S上的点都是平点；曲面S是球面(或其一部分)，当且仅当S上的点都是圆点.曲率线定义3.1设C是曲面S上的一条曲线.若C上每

6、一点的切向量都是曲面在该点的主方向，则称C是曲面S上的一条曲率线(curvatureline).定理3.5(Rodriques定理)曲面Sr:ruv(,)上一条正则曲线Cuutvvt:(),()是曲率线的充分必要条件是：沿着曲线C，dnt()//drt()，即dnutvt((),())//drutvt((),()).证明.由定义，C是曲率线，当且仅当对所有的t，drt()是Weingarten变换的特征向量，即Wdrt()()tdrt()，也就是dnt()Wdrt()()tdrt().定理3.6曲面S上一条曲线C是曲率线的充分必要条件是：曲面S的沿着曲线C的法线构成

7、可展曲面.证明.对曲面S上任意一条曲线C，曲面S的沿着曲线C的法线构成直纹面SX:Xst(,)rusvs((),())tnusvs((),())，1其中s是C的弧长参数.由于rs()()s和ns()是相互正交的单位向量，从而是线性无关的.S1是可展曲面(),(),()snsns0ns()()()ss()()sns.上式两边与nt()作内积可得()0s，从而上