我“思”我“解”——“果圆”初探

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1、我“思”我“解”——“果圆”初探内蒙古巴彦淖尔市奋斗中学：王霁婷指导教师：张红关键词：果圆椭圆内接矩形焦点三角形特殊内接三角形背景：我在翻阅07数学高考题时发现了一道有趣的题目，更被它图形的美感深深吸引，它是一道关于“果圆”的题。于是我就着手从“果圆”的定义、性质以及题目的拓展方面进行研究。框架：2.1范围2.2对称性二、性质2.3顶点2.4面积3.1焦点三角形的形状三、对果圆内特殊3.2内接矩形的最大值果圆多边形的研究（一、3.3特殊内接三角形面积的最大值定义）4.1原题解法四、对高考题的研究4.2拓展中点定比分点五、图形变换之美共焦

2、椭圆由果圆变换出的美丽图形展示2222xyyx一、“果圆”的定义：由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（x≤0）合成2222abbc222的曲线称作“果圆”。其中abc=+，a>0，bc>>0。如图（a）二、“果圆”的简单几何性质22xyx≥≤0时1且≤122ab2.1范围由标准方程可知22xyx≤≤0时1且≤1c2b20≤≤xayb且≤这说明果圆位于直线xa=即−≤≤cx0且ybxc≤=−和y=b所围成的矩形里±22xy+=≥1(0)x22ab2.2对称性在曲线方程里，以−y代替y，方程仍为22xy

3、+=≤1(0)xcb22不变，所以曲线关于x轴对称。同时由定义域不对称可知果圆关于y轴和原点不对称。2.3顶点如图（b）2.3.1定义：果圆和x轴，y轴的交点，叫做果圆的顶点。2.3.2顶点坐标：AcAaBbBb(−,0)⋅−(,0),(0,)⋅(0,)12122.4面积22xy由椭圆+=1的面积Sa=πb可知22ab1xa≥=0部分Sπb12π则SSS=+=bac()+12xb≤=0部分S1πc222三、对果圆内特殊多边形的研究3.1对焦点三角形形状的研究（a、b、c之间的关系及右椭圆的离心率）。2222xyxy果圆

4、焦点三角形的定义：由右椭圆+=1（x≥0）的焦点F和左椭圆+=122022abcb（x≤0）的焦点F1、F2确定的三角形叫做果圆的焦点三角形，如图（c）。3.1.1.当∆FFF为等边三角形时，∠03FF=°00120122bc−3222则tan30°==又∵abc=+ab22−322222c21∴有47ab=或37ac=，此时右椭圆离心率e==。a73.1.2.当∆FFF为直角三角形时，∠04FF=°5。0120122bc−222则tan45°==1，又∵abc=+22ab−2222c3∴有23ab=或ac=3，此时右椭圆离心率e==。

5、a33.1.3.当∆FFF为锐角三角形时，∠04FF<°50120122bc−222则tan0∠=FF<1又∵abc=+0122ab−2222c3所以有23abac><或3，此时右椭圆离心率e=∈(,1)。a33.1.4当∆FFF为钝角三角形时90°>∠0FF>45°0120122bc−222则tan0∠=FF>1又∵abc=+0122ab−2222c3所以23abac<>或3，此时右椭圆离心率e=∈(0,)。a33.2.果圆内矩形面积的最大值，如图（d）果圆内接矩形的定义：由果圆的对称性可知，其内接矩形为yd=±(0<

6、dxa=−11和xc=−−构成的矩形，要求其面积的最大值，22bb我们不妨设矩形的四个顶点A、B、C、D中A、B分别为Ac(c−os,sαbin)α，Ba(cos,sin)αbα，则Sa=+⋅(cosαccos)2sinααb=absin2α+bcsin2α=()sacb+⋅in2αππ所以当2α=，α=时，S最得最大值，Sa=()+cb。max243.3.果圆内特殊内接三角形的面积最值果圆的形状十分特殊，那我们不妨讨论一下其特殊内接3三角形面积的最值。设此特殊三角形一顶点为果圆的左顶点A，另两个顶点为1yttb=<<(0)与果圆的交点

7、。如图（e）所示c22a22则B点坐标为(,−−btt)，C点为(bt−,t)，bb1ac+22π从而St=⋅⋅btt−,s令，=bin0θθ∈，22bac++bac()则Sb=⋅⋅sinθb⋅=cosθθ⋅sin224bππbac⋅(+)所以当2θ=，θ=时，S取得最大值，S=，即果圆内接矩形最大面积max2441的。4四、对07上海高考题21题的拓展2222xyyx原题：我们把由半椭圆+=1（x≥0）与半椭圆+=1（y≤0）合成的曲线2222abbc222称作“果圆”。其中abc=+，abc>>>0,0，如图（f），点F

8、FF,,是相应椭圆的焦012点，A、A和B、B分别是“果圆”与x、y轴的交点。1212（1）若∆FFF是边长为1的等边三角形，求果圆的方程。012b（2）当AA>BB时，求的取值范围。1212a（3）连接“