影院座位的安排

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1、http://www.paper.edu.cn影院座位的安排刘学智武汉大学电气工程学院武汉430072Email:newyouthliu@163.com摘要:本文用直线夹角公式导出了最大视角公式，从离散化的思想出发，经过一系列的条件简化，在主要考虑影响满意度的视角因素的基础上，用数列求和定义了平均视角函数，对地板线倾角以步长0.1度搜索最优解，求得倾角为17.4度时平均视角最大为5.75度，其中第1排视角最大（8.8度），最佳位置需根据给出影响满意度因素的权值具体来定，一般是前1、2排居中位置。关于如何进一步提高观众满意度，本文搜索了包络线是直线时的情况

2、，当倾角为7.1度，第1排、最后一排的地板线高度分别为1.8m、3.4m时，平均视角最大为5.92度，其中第1排视角最大（10度）。模型推广中，本文考虑了观众座高不等这一随机因素给理想模型带来的影响，并考虑了空间设计的问题。关键词:视角平均满意度数列求和包络线1.问题重述下图1为电影院的剖面图，座位的满意程度主要取决于两个因素：（1）视角θ，即观众眼睛到屏幕上、下边的视线的夹角，θ越大越好。（2）仰角ω，即观众为看见屏幕上边需上仰头部的角度，ω太大，观众有不舒适感，一般要求0°≤ω≤30°。记地板线倾角为α，第一排座位在离屏幕d处。最后一排在离屏幕D处，

3、C为观众坐高。1、已知参数C,d,D,H,h和α，问最佳座位在何处（用上述参数表示）？并讨论这些参数应满足什么条件你的结果才合理？2．已知下表1数据：试求出地板线倾角α，使所有观众的平均满意度最图1电影院的剖面图大，并给出相应的最佳座位的位置。3．问地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意度？表1参数数据（单位：m）HhdDc4.501.205.9118.811.102.基本假设1．所有观众的座高相等。2．各排的排距相等。1http://www.paper.edu.cn3．所有观众的视力相差不大。4．考虑到实际影院的地板是呈阶梯状的，图3中的地板线

4、可看作这些阶梯的包络线。5．观众可以俯视，但不能达到俯视屏幕的上边缘的程度。用到的几个数据[1]①臀部—膝盖长度是从臀部最后面到膝盖骨前面的水平距离，影响到排距的取值，本文排[2]距取0.8m。②眼睛—头顶长度是从眼睛到头顶的竖直距离。本文取0.1m。3.符号说明n影院座位的排数l两排座位之间的距离，简称排距x观众到屏幕的水平距离θ视角α地板线的倾角ω仰角c观众座高θ所有观众的平均视角其它相关符号用到时文中会说明，其中H、h、d、D在图1中已标出。4.问题分析图2阶梯式影院剖面图每一个到影院的观众都想坐在最佳位置，而座位的满意程度主要取决于下面几个因素：

5、①视角θ，即观众眼睛到屏幕上、下边的视角的夹角θ越大越好。②仰角ω，即观众为看见屏幕上边需上仰头部的角度，ω太大，观众有不舒适感，一般要oo求03≤≤ω0。③观众距屏幕的水平距离不能太远，会看不清。我们知道视角要越大越好,仰角而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。针对这个问题，我们通过主观的判断分别对水平视角和仰角取权重。如果仰角在满足条件的范围内，我们假定观众满意度只取决于视角。其中③对所有观众的平均满意度基本不造成影响，本文将忽略此因素的影响。另外少数身高很高的人会挡住别人的视线，本文也将忽略此因素

6、的影响。2http://www.paper.edu.cn5.模型建立问题1如图3以地面水平方向为x轴，屏幕处竖直方向为y轴建立直角坐标系。设屏幕最上点为A，最下点为B，观众眼睛所在点为E。yAhBHωcθEαOdxD图3影院剖面的坐标系图则A(0,H)，B(0,H−h)，E(,xx(−d)tgα+c)([x∈dD,])。设AE的斜率为k，BE的1kk−21斜率为k，则它们的夹角θ满足公式：tgθ=，此处，21+kk21()x−+dtgαc−H()x−dtgα+−cH+hk=，k=，其中−kt=gω（ω为仰角）。121xxkk−h/x21∴tgθ==211

7、++kk(xtgdαα−tg+c−H)(xtgdαα−tg+c−H+h)/x21令Hd+−tgαc=M，则htgθ=22(1tgα++)x(M−hM)/x+htgαα−2Mtgoo∵倾角ω∈[0,30]，()xd−tgα+−cH∴0≤≤tgω3/3⇒0≤−k=−≤3/31x3http://www.paper.edu.cnMM∴≤≤x3/3+tgαtgα于是关于视角的目标函数及约束条件可表示为：hMAXθ=arctg22(1tgα++)x(M−hM)/x+htgαα−2Mtg⎧dx≤≤D（1）⎪st..⎨MM≤≤x⎪⎩3/3+tgαtgα2由于一般情况下，

8、Mh−M>0，2Mh−M2所以若θ的极值点x==Mh−Mcosα>d，则函数在该