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1、第二十四讲平面向量的基本定理及坐标表示回归课本1.平面向量基本定理及坐标表示(1)平面向量基本定理定理:如果e,e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这12一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ、λ,使a=λ12e+λe.1122其中,不共线的向量e,e叫做表示这一平面内所有向量的一组12基底.(2)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.(3)平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中,分别取与x轴y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数a、a,使a=ae+ae.把有序数对(a,a)叫做向量a1
2、2112212的坐标,记作a=(a,a),其中a叫a在x轴上的坐标,a叫a在y1212轴上的坐标.��������②设OA=a1e1+a2e2,则向量OA的坐标(a1,a2)就是终点A的����坐标,即若OA=(a1,a2),则A点坐标为(a1,a2),反之亦成立(O是坐标原点).2.平面向量的坐标运算(1)加法减法数乘运算www.tengshui.com外链代发向量aba+ba-bλa坐标(x1,y1)(x2,y2)(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx1,λy1)(2)向量坐标的求法����已知A(x,y),B(x,y),则=(x-x,y-y),即一个
3、向量的1122AB2121坐标等于该向量终点的坐标减去始点的坐标.(3)平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a与b共线⇔a=λbx1⇔y2-xy=0.21考点陪练1.下列各组向量中,可以作为基底的是()A.e=(0,0),e=(1,-2)12B.e=(-1,2),e=(5,7)12C.e=(3,5),e=(6,10)12⎛13⎞D.e1=(2,-3),e2=⎜,−⎟⎝24⎠解析:根据基底的定义知,非零且不共线的两个向量才可以作为平面内的一组基底.A中显然e∥e;C中e=2e,所以1221e∥e;D中e=4e,所以e∥e.121212答
4、案:B2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于()A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14).答案:A3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=()A.(-15,12)B.0C.-3D.-11解析:a+2b=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6),∴(a+2b)·c=-3.答案:C������������4.已知向量OA=(1,3),−OB=(2,1),−OC=(m1,m2).+−若点ABC能构成三角形,则实数m应满足
5、的条件是()1A.m≠−2B.m≠2C.m1≠D.m≠2��������解析:由题意AC=(,mm+1),BC=(m−1,m−1),因为ABC��������能构成三角形,所以AC≠λBC,即有mm1(−)≠(m1m1,−)(+)得到m1,≠故选C.答案:C5.已知向量a=(1,3),b=−(2,0,)则ab+=________.解析:a∵+=−b(1,3),∴a+b=13+=2.答案:2类型一平面向量基本定理的应用解题准备:已知e,e是平面的一组基底,如果向量a,e,e共面,1212那么有且只有一对实数λ,λ,使a=λe+λe.反之,如果121122有且只有一对实数λ1,λ
6、2,使a=λ1e1+λ2e2,那么a,e1,e2共面.这是平面向量基本定理的一个主要考查点,也是高考本部分知识考查的重点内容.����1��������1����【典例1】如图,在△OAB,中OC=OAOD,=OB,AD与BC42�������������交于点M,设OA=aOB,=b,以{a,b}为基底表示OM.�����[解]设OM=manbmn+(,∈R),��������������AM=OM−OA=(m−1)anb+,������������11AD=ODOA−=ba−=−a+b,因为AMD三点共线,22m−1n所以=,即m2n1+=.−112�����������
7、���1������������而CM=OM−OC=(m−)anbCB+,=OBOC−41m−114n=−ba=−ab+,因为CMB三点共线,所以=,4411−4即4mn+=1.⎧1m=⎧m+2n=1⎪⎪7�����13由⎨,解得⎨.所以OM=a+b.⎩4mn+=1⎪n=377⎪⎩7[反思感悟](1)本题先利用平面向量基本定理设出未知向量,然后利用共线向量的条件列出方程组,通过待定系数法从而确定参数的值.(2)由平面向量基本定理知:平面内的任一向量都可用两个不共线的向量惟一表示,根据向量的加法和减法法则
