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《Cauchy-Schwarz 不等式之本质与意义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、Cauchy-Schwarz不等式之本質與意義林琦焜學而不思則罔,思而不學則殆。—論語—1.前言:的師生故事,當先知以利亞要被耶和華接去之前問他的學生以利沙說:「我未曾被接一次偶然的機會,看到一位學生很努去離開你,你要我為你作甚麼只管求我。」力地讀數學,花了九牛二虎之力嘗試證明以利沙說:「願感動你的靈加倍的感動我。」教Cauchy-Schwarz不等式,看他苦思無助的的人有如此之胸襟與眼光不忌賢不藏私,學樣子,讓自己也回想在求學的經驗。隨後看了的人有如此之抱負與積極學習之渴望。否則看其草稿紙,我很坦白地
2、告訴他「你不是在學一代不如一代,教育就失去其價值與意義。數學,而是在背書,背定理證明。」隨後,自己就很“雞婆”地從判別式與投影的角度解釋『一個理想的釋經學者應該是這不等式,事後,自己覺得意猶未竟,「師者,一位去過第一世紀那個奇異世界所謂傳道、授業、解惑者也。」如果自己的一的人,感覺到其中的一片陌生,但些心得能夠解某些人對於數學之困惑與誤解,卻在那裡逗留,直到自己生活在其何樂而不為呢?這就是寫本文之動機與緣由。中,他的思想和感受與初聽福音的其實我們不能完全責怪學生素質不好、人一樣為止;然後再回到今日的世用
3、功程度不夠,或怪罪社會風氣差,影響著校界,將所獲悉的真理用我們今日的園。如果數學的教學仍停留在定義、定理、證思想訴說出來。』明,就難怪學生是如此學習。如果這就是數—CharlesHaroldDodd—學,老師就沒有什麼好教的,學生也沒有什麼Cauchy-Schwarz不等式顧名思義與好學(教學等於把課本念一遍!)有誰會喜歡這Cauchy有關,我們從最常見的形式開始種“無血無目屎”的怪胎呢?在舊約聖經列王紀下記載著一段感人1.1定理(Cauchy不等式):已知26Cauchy-Schwarz不等式之本質與
4、意義27a1,...,an,b1,...,bn為實數,則1.3定理(Cauchy不等式):已知Xn!2Xn!Xn!(aij)ij為一正定對稱矩陣(aij=aji),22aibi≤aibi(1.1)x1,...,xn、y1,...,yn為任意實數(或複數)i=1i=1i=1則等式成立之充分必要條件是ai=λbi,i=vvXnuXnuXnuu1,...,n。aijxiyj≤taijxixjtaijyiyji,j=1i,j=1i,j=1這是最常見的Cauchy不等式,其實(1.4)當n=3可追朔至法國數學家J
5、.L.La-如果你覺得(1.4)不容易理解,可利用向grange(1736-1813)。Cauchy不等式可推量來看廣至複數。如何推廣呢?不等式只有在實數Xnξ~·~η=~xA~yt=axyijij時才有意義,對於複數或向量要談大小關係,i,j=1自然的選擇就是其長度。對任意複數z=Xn2t√kξk=ξ~·ξ~=~xA~x=aijxixjx+iy,其長度
6、z
7、=x2+y2,因此對i,j=1(1.1)而言我們只須將平方的意義,更改為複Xn2tkηk=~η·~η=~yA~y=aijyiyj數之模數(modu
8、lus)的平方即可。i,j=1我們在此略微休息、沈思,對於學數學1.2定理(Cauchy不等式):已知的人而言,無限(infinite)是一個很自然的a1,...,an,b1...,bn為複數,則概念,並不需要藉助於宗教或哲學上深奧的2!!XnXnXn
9、a
10、2
11、b
12、2術語。Cauchy不等式對任意自然數n都成立,aibi≤iii=1i=1i=1那麼請問n=∞是否也成立呢?要回答(1.2)P這個問題實際上等於問無窮級數∞
13、a
14、2、i=1i等式成立之充分必要條件是ai=λbi,i=P∞
15、b
16、2是否收歛的問題。
17、i=1i1,...,n,λ為一複數。1.4定理(Cauchy不等式):已知令~a=(a1,a2,...,an)、~b=(b1,b2,ai,bi∈C則...,bn)並且定義向量之長度,!1!1qX∞X∞2X∞2ab≤
18、a
19、2
20、b
21、2
22、
23、~a
24、
25、=
26、a1
27、2+···+
28、an
29、2ijiii,j=1i=1i=1(1.5)則Cauchy不等式可表為等式成立之充分必要條件是ai=λbi,i=
30、~a·~b
31、≤k~akk~bk(1.3)P∞21,2,3...,λ∈C。如果i=1
32、ai
33、<∞、P∞2P∞i=1
34、bi
35、<∞
36、,則
37、i=1aibi
38、<∞。由線性代數之理論任意正定對稱矩陣都可以定義內積,因此若A=(aij)為一正定對稱從Cauchy不等式的角度而言,無窮數∞P∞2矩陣,則有底下之Cauchy不等式列{ai}i=1之平方和收歛,i=1
39、ai
40、<∞,28數學傳播24卷1期民89年3月是很自然而然出現的空間,在實變函數論或被遺忘!有時候所謂的名譽、聲望其實是勢泛函分析我們稱之為l2空間。這是n維實力分佈的結果。在19世紀數學的勢力基本上n數空間R最自然的
