chapt4答案-刚体的运动规律

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1、第四章刚体的运动规律一．内容提要1.刚体模型和刚体一般运动规律刚体模型：如果物体的形状和大小不能忽略，而其形变可忽略时，可视为刚体模型。刚体模型是一种特殊的质点系统模型。刚体的运动可以分解为以质心为代表的质点平动以及系统绕质心的旋转运动。2.转动惯量刚体绕固定转轴（z轴）的转动惯量为：平行轴定理：3.刚体定轴转动的角动量和转动动能4.刚体定轴转动的角动量定理和动能定理刚体定轴转动的角动量定理：刚体定轴转动的动能定理（力矩做功）：二．要点1.刚体是特殊质点系统模型，在对转动惯量、角动量、力矩等物理参量的计算以及相关定律的使用时，

2、要注意各参量所对应的参考点。2.由于内力成对出现，在考察动量、角动量和动能时都不用考虑内力的问题，质心系下的力学规律是解决刚体问题的关键。3.刚体问题处理方法1）刚体的转动惯量与模型有关，首先要确定刚体的转动惯量是对处于哪个位置转轴的转动惯量；2）考虑刚体的运动是定轴转动还是平面平行运动：定轴转动时只需考察刚体对轴的角动量和刚体的机械能（势能和转动动能），平面平行运动可分解为绕质心的定轴转动和质心的平动，采用质心系的力学规律进行处理；3）刚体平面运动时各质元对轴具有相同的角速度和角加速度。习题解答4-1证明适用于薄的平面刚体的

3、垂直轴定理：一个平面刚体薄板,对于垂直板面的某轴的转动惯量,等于绕平面内与该垂直轴相交的任意两个相互垂直的轴的转动惯量之和,即Iz=Ix+Iy。分析：本题按照坐标分解，考虑其物理意义。解：令平面薄板处于x-y平面，垂直于薄板向上的方向为z轴。由定义求得：注意：本题的结论可普遍适用，但是要注意使用的前提条件：平面无限薄板。4-2计算由三根质量均为m长为l的均匀细杆组成的正三角形绕通过一顶点并垂直于三角形平面的轴的转动惯量。分析：注意转动惯量具有可加性与平行轴定理。特殊的是与顶点相对的那根细杆，可以认为转轴在杆AB的中间然后平移到

4、顶点O，可以用平行轴定理。解：OA和OB绕O点的转动惯量都是ml2/3，对于绕AB中点垂直于AB的转轴，转动惯量为ml2/12，则AB对于过O点的垂直于三角形平面的转轴，有：22ml352，ImlmlOAB1226总的转动惯量：I222O=2*ml/3+5ml/6=3ml/2。4-3一半圆形均匀细杆，其半径为R，质量为m，如图所示，试求细杆对过圆形圆心和端点的轴AA的转动惯量。分析：本题直接用质量连续分布情况下转动惯量的公式求解。注意对微元的划分应使每个微元具有空间均匀性，可以用同样的函数表达。由空间特

5、点，显然选择极坐标，可以只有角度θ一个变量。解：如图建立极坐标。按照定义，有dI=r2dm，采用极坐标，有：mdmRd，R轴在AA，因此各质元距轴的距离为Rsinθ，带入公式，采用定积分，有：2222mRmR1cos2mRIRsindd。0R0224-4计算一个内半径为R1，外半径为R2的圆筒对其几何中心轴的转动惯量。分析：可以直接用转动惯量的定义求解，也可以用转动惯量的相加性。可以认为由两个具有相同密度的圆筒组成，从实心的大圆筒中挖去中间的小圆筒。解法1：设圆筒的质量为M，高为

6、h体密度为ρ，则有：22小圆筒质量为mRh，转动惯量为mR/2，111122实心的大圆筒质量为mRh，则转动惯量为mR/2；2222则空心的圆筒质量为M=m2−m1，转动惯量为IM，2222有IM=mR/2−mR/2，MRhRh；221121将m1，m2的表达式带入IM，联立上面两个方程，有：22IMR(R)/2。M12解法2：设圆筒的质量为M，高为h体密度为ρ，则有：，利用转动惯量公式，其中；积分处理，有：小结：本题直接积分（解法2）更容易，但是在外部形状不规则、内部形状规则时，可考虑采用解法1的

7、类似方法处理。4-5以垂直于盘面的力F将一粗糙平面紧压在一飞轮的盘面上，使其制动，如题4-5图所示。飞轮可以看作是质量为m、半径为R的匀质圆盘,盘面与粗糙平面间的摩擦系数为μ，轴的粗细可略,飞轮的初始角速度为ω。(1)求摩擦力矩；(2)经过多长时间飞轮才停止转动？分析：转动问题要考虑角动量这个物理参量以及相关的角动量定理和角动量守恒定律。本题要使用角动量定理，求力矩。单位面积上的压力是均匀的，但是各点的摩擦力所产生的力矩在是不同的，即M~r，要把宏观空间划分为各个均匀的微元。从它的空间特点上看，显然采用极坐标比较方便，距离中心

8、相同距离圆环上的每个点，摩擦力产生的力矩都相同，取微元时以圆环面积为微元即可。解：各面元上产生的压力dN为，产生的摩擦力df为：df=μdN，可得到。4-6如题4-6图所示，两物体的质量分别为m1和m2，滑轮的转动惯量为I，半径为R。(1)如果m2与桌面之间为光滑接触，求系统