TDMA算法在迭代求解二维对流扩散问题中的收敛性证明

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1、2014年3月高等学校计算数学学报第36卷第1期TDMA算法在迭代求解二维对流扩散问题中的收敛性证明木关朋燕(北方民族大学信息与计算科学学院，银川750021)李春光景何仿(北方民族大学数值计算与工程应用研究所，银川750021)PR0oF0NTHEC0NVERGENCE0FTDMAALGoRITHMINTHEITERATIVESoLUTIoN0FTW0．DIMENSIoNALC0NVECT10N—DIFFUS10NPR0BLEMSGuanPengyan(SchoolofinformationandComput

2、ingScience，BeifangUniversityofNationalities，Yinchuan750021)LiChunguangJingHefang(ResearchInstituteofNumericalComputationandEngineeringApplications，BeifangUniversityofNationalities，Yinchuan750021)AbstractThetri—diagonalmatrixalgorithm(TDMA1isusuallyadoptedtos

3、olvethedescretizedequationsoftwoorthreedimensionalconvection—difusionequationsbyusingfinitevolumemethod，whichsatisfiedboundednessandtransitivity．The国家自然科学基金重大研究计划培育项目(91230111)，北方民族大学自主科研基金项目(2012XYC029)，北方民族大学重点基金项目(2012XZK05)和国家自然科学基金(11361002)收稿日期：2012—01

4、—07．关朋燕等：TDMA算法在迭代求解二维对流扩散问题中的收敛性证明第1期convergenceofTDMAtoiterativelysolvethediscretizedequationsoftwo—dimensionalconvection—diflusionproblemsiSproved．andtheSUfficientconditionoftheconvergenceforthealgorithmisobtained．Inaddition，numericaltestsarepresentedtove

5、rifytheefectivenesofthealgorithm．ThenumericalresultsarecomparedwiththeGaUSS—Seideliterativealgorithm．KeywordsTDMAiterativealgorithm，Finitevolumemethod，Convection—difusionproblem，Convergence，Gauss—Seideliterativealgorithm．AMS(2000)subjectclassifications65F10中

6、图法分类号O241．60引言近年来随着大型计算机硬件设备和软件技术迅速发展，求解对流扩散问题的算法越来越多．而TDMA算法在流体力学、油藏模拟、空气动力学等众多领域中有着广泛的应用．由于其理论解一般难以获得，只能用数值方法进行近似计算，因此其算法理论的研究具有毋庸置疑的重要性．众多学者对TDMA算法思想进行推广应用，并且针对数值代数中的三对角方程组、五对角线性方程组做了深入研究，取得了大量研究成果[1-9]．如文[1】提出了求解三对角方程组的通用性迭代解法，并用几何法证明了该算法的正确性；文f3】研究了求解循环

7、三对角方程组的一种追赶法，并对该算法的稳定性进行了分析；文【6]研究了三对角矩阵特征值的谱半径的收敛性，并予以证明．对于二维及三维对流扩散问题，尽管离散后方程组可以采用TDMA算法迭代求解，并且在工程领域被广泛应用，但是，目前有关使用TDMA算法对高维对流扩散问题所产生的代数方程组迭代求解时收敛性分析的文献尚未发现．本文给出了采用TDMA算法对用有限体积法求解二维对流扩散问题时所产生的代数方程组的收敛性进行了严格的理论证明，给出了该算法收敛的充分条件，研究结果具有重要的理论价值．1TDMA算法及其在二维对流扩散

8、问题数值求解中的应用1．1TDMA算法TDMA算法是解三对角方程组的一种直接算法，即追赶法．方程组形如一～1+Dj一~jCj+l=，(J=2，3，⋯，n，礼+1)，高等学校计算数学学报在上式中，+是边界上的值，为已知．这个方程组可通过消元和回代两个过程来求解，详细的TDMA算法介绍可参考文献[1O]．1．2TDMA在二维问题中的算法的应用二维对流一扩散问题控制方程可表示成通用形式a亡+