序半群中的粗糙理想

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1、第29卷第1期模糊系统与数学Vo1．29，NO．12015年2月FuzzySystemsandMathematicsFeb．。2015文章编号：1001—7402(2015)01—0146—07序半群中的粗糙理想刘颖，赵彬(陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西西安710062)摘要：引入了序半群中(上，下)粗糙理想的概念，讨论了序半群中理想与(上，下)粗糙理想的关系，证明了对舍最小元的序半群，若任一元素的等价类是有限的，则下粗糙理想之集关于包舍序构成一个代数格。最后，讨论了(半，准)素理想与(上，下)粗糙(半，准)

2、素理想的关系。关键词：序半群；粗糙理想；粗糙素理想中图分类号：0152文献标识码：A粗糙集理论是由波兰数学家Pawlak于1982年首次在文[1]中提出的，它是一种新型的处理不确定性知识的数学工具。随后，诸多学者[2-4]对粗糙集的性质进行了研究，目前粗糙集理论已取得了长足的进展。在粗糙集的Pawlak代数系统的建立过程中]，人们不断地运用粗糙集的方法研究代数系统中的代数结构。例如，半群中的粗糙理想]，粗糙集理论应用到格理论_7]，Quantale中的上下近似口]，半群中的粗糙素理想和粗糙模糊素理想l_9等。尤其是

3、杨凌云博士和徐罗山教授在文ElO]中研究了Quantale中的粗糙性，得到了Quantale中的粗糙素根定理等重要的结论。本文在这些工作的基础上，利用文[1O]中的方法将粗糙集理论运用到序半群的研究中，对序半群中的(素，半素，准素)理想及粗糙(素，半素，准素)理想进行了讨论。1预备知识下面首先给出序半群理论和格论中的一些概念和结论。定义1．1[11设(，·)是半群，(，≤)是偏序集。如果Va，b，cES，口≤6，有a·c≤6·C，C·口≤C·b，则称(，·，≤)是序半群，简称是序半群。设是序半群，zES，表示z·⋯

4、·z；A，BCS，A·B一{a·bIaEA，bEB)。——一若无特别说明，下文中出现的均指序半群。定义1．2E设5是序半群。若Va，bES，a·b=b·a，则称为可换序半群。定义1．3E¨设(S，·，≤)是序半群，≠．如果满足：(1)I·S，，S·I；(2)VaEI，bES，6≤口=>6EI．则称为．s的理想。记S的所有理想之集为Id(S)。设Ac_S，(A]一{bESlaEA，使得6≤n}。收稿日期：2013-08—19；修订日期：2013-12—11基金项目：国家自然科学基金资助项目(11171196)作者简介

5、：刘颖(1988一)，女，陕西师范大学数学与信息科学学院研究生，研究方向：格上拓扑与模糊推理；赵彬(通讯作者)(1965一)，男，陕西师范大学数学与信息科学学院教授，博士生导师，研究方向：格上拓扑与模糊推理。第1期刘颖，赵彬：序半群中的粗糙理想147定义1．4¨1H设5是序半群，为的理想。(1)若日，bES，a·bE口EI或bEI，则称为的素理想。(2)若a·aE口EI，则称为的半素理想。(3)若日，bES，a·bEI，an>0使得bEI，则称为5的准素理想。定义1．5E¨设是序半群上的等价关系。若VCES，(口，

6、6)E，有(f·a，c·6)E，(口·f，b·f)∈，则称为的同余。定义1．6_1设L为偏序集，kEL．若对任意的定向集DL，志≤UD，都存在dED使得是≤d，则称k是紧元。K()表示L的紧元之集。定义1．7_1。设L是完备格。若V,32EL，z—V(．72nK(L))，则称L为代数格。2序半群中的完备同余及上(下)近似本节主要介绍序半群中(rF，乘)完备同余关系和上(下)近似的概念，并给出几个(序)完备同余的6例子。定义2．1设是序半群，是上的同余关系。(1)若Va，bES，日≤6(a，口·6)E，则称是序完备的

7、。(2)若Va，bES，[-a·b2一]·Eb2，则称是乘完备的。(3)若既是序完备的又是乘完备的，则称是完备的。下面给出关于序完备同余，完备同余的例子。例2．1设S一{日，b，C，d)，其中上的序关系≤如图1，5上的二元运算·如表1。表1以bC口bf6bbbCbbf可以验证(，·，≤)是序半群。令是上的等价关系，其中的等价类为{)，{C}，{b，d)。易知是上的序完备同余。由于]·Fc3一{b)，而·c2一{b，d}，故不饲乘完备的，所以不是完备同余。例2．2设S一{a，b，c，d)，其中S上的序关系≤如图2，S

8、上的二元运算·如表2。图2148模糊系统与数学表2nbf口口口b口b盘Cn口C可以验证(，·，≤)是序半群。令0是上的等价关系，其中0的等价类为{口，b，C)，{d)。可验证0是上的完备同余。定义2．2设是序半群，0是S上的等价关系且．令()一{St2ES【[]nA≠)()一{zESI]A)则分别称(A)和(A)为A关于0的上近似和下近似，其中，o：()一(