数列不等式证明专题课

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1、数列不等式证明专题课一、证明数列不等式的基本方法：1、利用作差比较，作商比较2、利用基本不等式3、构造函数，求导后借助函数的单调性4、放缩法（见第二点）5、数学归纳法（有专题课）xx例1、设函数Fx()ee，nn12求证：F(1)(2)FFn()(e2)(nN)．解：FxFx()()12ex1x2e(x1x2)ex1x2ex1x2ex1x2e(x1x2)2ex1x22，n1F(1)()Fne2，n1F(2)(Fn1)e2

2、n1FnF()(1)e2.由此得，21nn[(1)(2)FFFn()][(1)()][(2)(FFnFFn1)][()(1)](eFnF2)nn12故F(1)(2)FFn()(e2)，nN．1a例2、数列{xn}满足：x11a0,xnn(x),nN.2xn（1）证明：对n≥2，总有xa；n（2）证明：对n≥2，总有xx.nn11a分析：（1）证明：由x1a0,及xn1(xn)，可归纳证明xn02xn从而有x1(xa)xaa(n

3、N)（均值不等式的应用—n1nn2xxnn综合法），所以，当n≥2时，xa成立.n1a（2）证法一：当n≥2时，因为xa0,x(x)，所nn1n2xn2以1a1axn0xx(x)x，故当n≥2时，xnxn1n1nnn2x2xnn成立.（作差比较法）1a证法二：当n≥2时，因为xa0,x(x)，所以nn1n2xn1a(x)n222x2xxaxxn1nnnn1，22xnxn2xn2xn故当n≥2时，xx成立.（作商比较法）nn1点评：

4、此题是以数列为知识背景，把数列与不等式证明综合起来，重点还是考查不等式证明方法中最基本的方法——综合法和比较法。例3、已知函数f(x)ln(1x)ax()aR．（1）若对于任意的x(1,)，f(x)0恒成立，求实数a的值；111（2）求证：(1)(1)(1)e.2n2221（1）解：f(x)a，1x1①当a0时，由0，知f(x)0，f(x)在(1,)1x单调递增，而f(1)ln22a0，则f(x)0不恒成立.1②当a0时，令f(x)

5、0，得x1.a1当x(1,1)时，f(x)0，f(x)单调递增；a1当x(1,)时，f(x)0，f(x)单调递减，a1∴当f(x)在x1处取得最大值.a1由于f(0)0，所以10，得a1，即当且仅当a1a时f(x)0恒成立.综上，所求a的值为1.111（2）(1)(1)(1)e等价于2n222111ln[(1)(1)(1)]1，下证这个不等式成立.2n2221111由（1）知ln(1)0，即ln(1)，kkkk2222111111

6、ln[(1)(1)(1)]ln(1)ln(1)ln(1)2n2n22222211(1)11122n111.2n1n222212用函数不等式证明数列不等式，关键在赋值转化，本题第（2）问的关键是两边取自然对数，然后利用第（1）问的结论证之。利用著名x的函数不等式ln(xx1)(x0)证明一些与“e”有关的数x1列不等式，也是很常用的方法。讲评周练6.题20（3）20.fxxalnxa0.(1)若a1,求fx的单调区间及f

7、x的最小值；(2)若a0,求fx的单调区间；222ln2ln3lnn(3)试比较与22223nn12n1nN且n2的大小.，并证明你的结论.2n1引申结论：二、放缩法证明与数列求和（或求积）有关的不等式的基本方法1、直接将数列求和后放缩*例4、已知nnN,2,123nn4求证：...3.23nn222222、添加或舍弃一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要

8、，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。n*例5、已知an21(N).nn1aa12an*求证：...(nN).23aaa23n1证明：ka211111111k.,kn1,2,...,,k11kkkka2122(21)23.222232k1aaan1111n11n112n...(...)(1),2nnaaa232222322323n1nn1aa12an