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《方程共轭复数解在实平面上的几何意义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第23卷第3期上海第二工业大学学报Vol.23No.32006年9月JOURNALOFSHANGHAISECONDPOLYTECHNICUNIVERSITYSept.2006文章编号:1001-4543(2006)02-0177-10方程共轭复数解在实平面上的几何意义李鸿仪(上海第二工业大学，上海201209)摘要：研究了实系数代数方程的复数解发生变化时实平面上y=F(x)几何图形的变化。结果表明，当复数解虚部的平方较小时，函数在实部的附近形成极值或拐点，且虚部的平方越小，极值或拐点越明显；当虚部的平方较大时，上述极值或拐点将逐渐不明显；当虚部的平方趋于无穷时，
2、函数值与复数解虚部的平方成正比而与复数解的实部无关，上述极值或拐点将消失。所给结论可用于预测含复数解函数曲线的形状，也可用于改变函数曲线的形状。提出了影像方程的概念，从而可以研究一般方程复数解在实平面上的几何意义。关键词：复数解；实平面；几何意义；代数方程中图分类号：O187文献标识码：A0引言[1]如所周知，在数学史上，虚数是在研究方程的解时提出的。由于当时虚数没有明确的意义，因此曾[1,2]备受质疑。后来人们发现，复数在复平面上有着明确的几何意义。代数基本定理的证明也离不开复数的概念。目前，包含虚数在内的复数已经在数学、物理学、电工学等多种学科得到了广泛的应
3、用。早在十九[3,4]世纪就提出的四元数(复数的推广)概念，近年来在计算机图形学、计算机视觉等得到了广泛应用，实际上也是利用复平面及其推广来解决各种数学问题。然而，由于我们无法在实平面上表示复数，在解决实际问题时，若出现复数，对其在实平面上的几何意义，人们仍常常感到困惑。由于虚数的平方为实数，因此，如果我们在解实系数方程时出现了复数解，复数解的实部和虚0部应[5]该与实平面上的几何图形有关。关于这一点，已经有了一些初步的探讨。本文提出了一般解对和影像方程的概念，并用这些概念研究了方程F(x)=0的共轭复数解和实数解发生变化时，在实平面上方程y=F(x)的图形变化
4、，从而给出了方程的共轭复数解在实平面上的几何意义及其应用。1实系数偶次代数方程的一般解对1.1实系数偶次代数方程一般解对的定义设2n次(n∈R)实系数代数方程有2m(m∈R,m≤n)个实数解x1,x2,x3,…,x2m和2n－2m个复数解x2m+1,x2m+2,x2m+3,…,x2n。不失一般性，假定其中的实数解x1≤x2≤x3≤x4≤…≤x2m(1)并令ak=(x2k+x2k－1)/2，bk=(x2k－x2k－1)/2(k=1,2,3,…,n)(2)收稿日期：2006-04-10;修回日期：2006-08-01作者简介：李鸿仪(1952—)，男，浙江宁波市人，
5、自然科学研究员，主要研究领域为物理化学、化工热力学和数学。基金项目：上海教育委员会基金项目(No.ZTW104001)178上海第二工业大学学报2006年第3期则方程的解可以表达为：ak±bk(k=1,2,3,…,n)(3)式(3)用于表达共轭复数解时，bk(k=m+1,m+2,m+3,…,n)为虚数，这时，ak,bk/i(k=m+1,m+2,m+3,…,n)分别表示复数的实部和虚部。定义1对2n次实系数代数方程，将形如式(3)所表达的解称为2n次实系数代数方程的一般解对，其中ak称为一般解对的首部，bk称为一般解对的附部。1.2解内域、解外域和实数重根定义2对
6、实数解对ak±bk(k=1,2,3,…,m)，称区间(ak－bk,ak+bk)为该实数解的解内域；称区间(－∞,ak－bk)，(ak+bk，+∞)为该实数解的解外域。显然，符合(1)式的实数解的各解内域互不相交。然而，各实数解ak±bk的解外域(k=1,2,3,…,m)显然相交，其交集称为绝对解外域。绝对解外域为实数轴上不包括所有实数解及其解内域的部分。当(1)式的各小于等于号，均为小于号时，所有实数解均为单根，各实数解的解内域和绝对解外域交替出现：外x1内x2外x3内x4外x5内x6外x7内x8外x9内x10外由此可见，对于任一单根，其一端和解内域相接，另一端
7、则和绝对解外域相连。当(1)式的1个小于号(或相邻的3,5,7,…,个小于号)变为等号时，则出现了一个2(或4,6,8,…)重根。对2(或4,6,8)重根，其两端要么均为绝对解外域(例如x1=x2)，要么均为解内域(例如x2=x3)。同理，当(1)式中相邻的2(或4,6,8,…)个小于号变为等号时，则出现了一个3(或5,7,9,…)重根。和单根一样，奇数重根的一端和解内域相接，另一端则和绝对解外域相连。由此可得以下引理：引理1设x∈R，实数解符合(1)式，则i)实数单根或实奇数重根解在数轴的左右两端一个为绝对解外域，另一个为解内域；ii)实偶数重根在数轴的两端均
8、为解内域或均为绝对解外域
