核密度图详解

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1、R语言与非参数统计（核密度估计）背景核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数，属于非参数检验方法之一，由Rosenblatt(1955)和EmanuelParzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzenwindow）。原理假设我们有n个数X1-Xn,我们要计算某一个数X的概率密度有多大。核密度估计的方法是这样的：其中K为核密度函数,h为设定的窗宽。核密度估计的原理其实是很简单的。在我们对某一事物的概率分布的情况下。如果某一个数在观察中出现了，我们可以认为这个数的概率密度很大，和这个数比较近的数的概率密度也会比较大，而那些离这个数远的数的概率密度会比较小。基于这种想

2、法，针对观察中的第一个数，我们都可以f(x-xi)去拟合我们想象中的那个远小近大概率密度。当然其实也可以用其他对称的函数。针对每一个观察中出现的数拟合出多个概率密度分布函数之后，取平均。如果某些数是比较重要，某些数反之，则可以取加权平均。但是核密度的估计并不是，也不能够找到真正的分布函数。代码作图示例我们可以举一个极端的例子：在R中输入：[plain]viewplaincopyprint?1.plot(density(rep(0,1000)))可以看到它得到了正态分布的曲线，但实际上呢？从数据上判断，它更有可能是一个退化的单点分布。但是这并不意味着核密度估计是不可取的，至少他可

3、以解决许多模拟中存在的异方差问题。比如说我们要估计一下下面的一组数据：[plain]viewplaincopyprint?1.set.seed(10)2.dat<-c(rgamma(300,shape=2,scale=2),rgamma(100,shape=10,scale=2))可以看出它是由300个服从gamma（2,2）与100个gamma（10,2）的随机数构成的，他用参数统计的办法是没有办法得到一个好的估计的。那么我们尝试使用核密度估计：[plain]viewplaincopyprint?1.plot(density(dat),ylim=c(0,0.2))将利用正态

4、核密度与标准密度函数作对比[plain]viewplaincopyprint?1.dfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){2.a*dgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-a)*dgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}3.pfn<-function(x,a,alpha1,alpha2,theta){4.a*pgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-a)*pgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)}5.curve(dfn

5、(x,0.75,2,10,2),add=T,col="red")得到下图：（红色的曲线为真实密度曲线）可以看出核密度与真实密度相比，得到大致的估计是不成问题的。至少趋势是得到了的。如果换用gamma分布的核效果无疑会更好，但是遗憾的是r中并没有提供那么多的核供我们挑选（其实我们知道核的选择远没有窗宽的选择来得重要），所以也无需介怀。R中提供的核：kernel=c("gaussian","epanechnikov","rectangular","triangular","biweight","cosine","optcosine")。我们先来看看窗宽的选择对核密度估计的影响：[p

6、lain]viewplaincopyprint?1.dfn1<-function(x){2.0.5*dnorm(x,3,1)+0.5*dnorm(x,-3,1)}3.par(mfrow=c(2,2))4.curve(dfn1(x),from=-6,to=6)5.data<-c(rnorm(200,3,1),rnorm(200,-3,1))6.plot(density(data,bw=8))7.plot(density(data,bw=0.8))8.plot(density(data,bw=0.08))得到下图，我们可以清楚的看到带宽为0.8恰好合适，其余的不是拟合不足便是过拟合。

7、窗宽究竟该如何选择呢？我们这里不加证明的给出最佳窗宽选择公式：(这个基于积分均方误差最小的角度得到的)这里介绍两个可操作的窗宽估计办法：(这两种方法都比较容易导致过分光滑)1、Silverman大拇指法则这里使用R(phi’’)/sigma^5估计R（f’’），phi代表标准正态密度函数，得到h的表达式：h=(4/(3n))^(*1/5)*sigma2、极大光滑原则h=3*(R(K)/(35n))^(1/5)*sigma当然也有比较麻烦的窗宽估计办法，比如缺一交叉验证，插入法等，