第十五届“华杯赛”初一组决赛试题A答案

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1、第十五届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A解答（初一组）一、填空题1.互不相等的有理数a,b,c在数轴上的对应点分别为A,B,C.如果

2、ab

3、

4、ca

5、

6、bc

7、,那么在点A,B,C中,居中的是点.【答案】A.【解答】当bac时,

8、ab

9、

10、ca

11、abcacb

12、bc

13、;当bac时,

14、ab

15、

16、ca

17、baacbc

18、bc

19、;所以点A在点B与点C之间.当点A不在B,C两个点之间时,

20、ab

21、

22、ca

23、

24、bc

25、不成立.事实上,当acb时,

26、ab

27、

28、ca

29、bacabc2a,

30、bc

31、bc.这时不可能

32、有

33、ab

34、

35、ca

36、

37、bc

38、,否则,bc2abc,即2a2c,得出a和c相等,与题设条件矛盾.类似地可以讨论其他情形.2.图A-26所示的立体图形由9个棱长为1的正方体木块搭成,这个立体图形的表面积为.【答案】32.图A-26【解答】从上、下、前、后、左、右看到的这个立体图形的表面的面积分别为5,5,5,5,6,6,总和为32.3.汽车A从甲站出发开往乙站,同时汽车B、C从乙站出发与A相向而行开往甲站,途中A与B相遇后15分钟再与C相遇.已知A、B、C的速度分别是每小时90km,80km,70km,那么甲乙两站的路程是km.【答案】680【解答】设A与B出发t小

39、时后相遇.两站路程为s,则有1(9080)ts,(7090)ts,4得t4(小时),s1704680km.4.把自然数1~2010分组,每组内任意3个数的最大公约数为1,则至少需要分成组.【答案】503.【解答】一组中至多可以有2个偶数,总共1005个偶数,故至少分到503组.又相邻的两个整数是互质的.相邻的两个奇数也是互质的.故下面502组相邻4个数中,4k1,4k2,4k3,4k4(其中k0,1,2,,501),任意3个数的最大公约数为1,加上2009与2010一组,共分成503组.5.已知正n边形的内角度数的两倍为整数,那么这样的正

40、整数n有个.【答案】28.【解答】正n边形的内角度数为n2360180180,nn其两倍为720360.n42所以当n整除720235时,正n边形的内角度数的两倍为整数.720有(41)(21)(11)30个因数.当n1或n2时,不存在正n边形,所以只有28个正多边形满足条件.a2b3b2cc2a3ab2c6.已知,则的值等于.7532a5b6c26【答案】.11【解答】令a2b3b2cc2ak,k,k.753391由a2b7k,3b4a11k,解得bk,ak.1111因此31c3k2ak.1

41、1则3ab2c(3)3923126.2a5b6c(2)539631117.六人参加乒乓球比赛,每两人赛一场,分胜负,无平局.最终他们胜的场数分别是a,b,b,c,d,d,且abcd,那么a等于.【答案】5.【解答】一共有15场比赛且不可能有两人都一场不胜,所以a2bc2d15,d1.于是6d15,d2.若d2,则4ca2bc11,进而得到c2d,矛盾.所以d1.4ca2bc13,c3,即c2或3.若c3,则3ba2b10,b3c,矛盾.所以c2.再由a2b11得到b3,a5.8.某

42、中学新建游泳池开启使用,先用一天时间匀速将空游泳池注满,经两天的处理后同速将水放光;然后开始同速注水,注满一半时,将注水速度加倍直到注满.请在图A-27中用图表示游泳池中水量随时间的变化关系.图A-27【解答】图A-28二、解答下列各题9.能否找到7个整数,使得这7个整数沿圆周排成一圈后,任3个相邻数的和都等于29?如果能,请举一例.如果不能,请简述理由.【答案】不能.图A-29【解答】假设存在7个整数a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7排成一圈后,满足任3个相邻数的和都等于29.则aaa29,aaa29,aaa29,aaa29,12323434545

43、6aaa29,aaa29,aaa29.567671712将上述7式相加,得3(aaaaaaa)297.1234567所以2972aaaaaaa67,123456733与aaaaaaa为整数矛盾!所以不存在满足题设要求的7个整数.123456710.已知k是满足1910k2010的整数,并且使二元一次方程组5x4y74x5yk有整数解.问:这样的整数k有多少个?【答案】2.【解答】直接解方程组,3