五大常用算法

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1、五大常用算法之一：分治算法分治算法一、基本概念  在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……   任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较

2、即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。二、基本思想及策略  分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。  分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。  如果原问题可分割成k个子问题，1

3、可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。三、分治法适用的情况   分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：   1)该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决   2)该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。  

4、 3)利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；   4)该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此

5、时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。四、分治法的基本步骤分治法在每一层递归上都有三个步骤：   step1分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；   step2解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题   step3合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。它的一般的算法设计模式如下：   Divide-and-Conquer(P)   1.if

6、P

7、≤n0   2.thenreturn(ADHOC(P))   3.将P分解为较小的子问题P1,P2,...,Pk   4.fori←1tok   5.d

8、oyi←Divide-and-Conquer(Pi)△递归解决Pi   6.T←MERGE(y1,y2,...,yk)△合并子问题   7.return(T)   其中

9、P

10、表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,...,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1,P2,...,Pk的相应的解y1,y2,...,yk合并为P的解。五、分治法的

11、复杂性分析   一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为

12、P

13、=n的问题所需的计算时间，则有： T（n）=kT(n/m)+f(n)   通过迭代法求得方程的解：   递归方程及其解只给出n等于m的方幂时T(n)的值，但是如果认为T(n)足够平滑，那么由n等于m的方幂时T(n)的值可以估计T(n)的增长速度。通常假定T(n)是单调上升的，从而当     

14、    m