例谈绝对值问题的求解方法

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1、例谈绝对值问题的求解方法(奥数辅导)一、定义法　　例1 若方程只有负数解，则实数a的取值范围是：_________。　　分析与解 因为方程只有负数解，故，原方程可化为：　　，　　∴，　　即　　说明 绝对值的意义有两点。其一，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零；其二，在数轴上表示一个点到原点的距离。利用绝对值的定义常可达到去掉绝对值符号的目的。　　二、利用非负性　　例2 方程的图象是（  ）　　（A）三条直线：　　（B）两条直线：　　（C）一点和一条直线：（0，0），D）两个点：（0，

2、1），（－1，0）　　分析与解 由已知，根据非负数的性质，得　　即或　　解之得：或　　故原方程的图象为两个点（0，1），（－1，0）。　　说明 利用非负数的性质，可以将绝对值符号去掉，从而将问题转化为其它的问题来解决。　　三、公式法　　例3 已知，求的值。　　分析与解 ，　　∴原式　　     　　说明 本题根据公式，将原式化为含有的式子，再根据绝对值的定义求值。　　四、分类讨论法　　例4 实数a满足且，那么　　分析与解 由可得　　且。　　当时，　　；　　当时，　　　　说明 有的题目中，含绝对值的代数式不能直接确定其符

3、号，这就要求分情况对字母涉及的可能取值进行讨论。　　五、平方法　　例5 设实数a、b满足不等式，则　　（A）且　　（B）且　　（C）且　　（D）且　　分析与解 由于a、b满足题设的不等式，则有　　，　　整理得　　，　　由此可知，从而　　　　上式仅当时成立，　　∴，即且，　　选B。　　说明 运用此法是先对不等式进行平方去掉绝对值，然后求解。　　六、图示法　　例6 在式子中，由不同的x值代入，得到对应的值。在这些对应值中，最小的值是（  ）　　（A）1 （B）2 （C）3 （D）4　　分析与解 问题可变化为：在数轴上有四点

4、A、B、C、D，其对应的值分别是－1、－2，－3、－4，求一点P，使最小（如图）。　　　　由于是当P点在线段AD上取得最小值3，是当P在线段BC上取得最小值1，故的最小值是4。选D。　　说明 由于借助图形，巧妙地把问题在图形中表示出来，形象直观，便于思考，从而达到快捷解题之目的。　　七、验证法　　例7 是一个含有4重绝对值符号的方程，则（  ）　　（A）0、2、4全是根（B）0、2、4全不是根　　（C）0、2、4不全是根　　（D）0、2、4之外没有根　　分析与解 从答案中给出的0、2、4容易验证都是方程的根，并且通过观

5、察得知－2也是一根，因此可排除B、C、D，故选A。　　说明 运用此法是从题干出发，取符合题意的某些特殊值或特殊图形，与选择支对照检验，从而判定各个选择支的正误。　　八、代数式零点法　　例8 的最小值是_________。　　分析与解 由可确定零点为－1、2、3。　　当时，　　原式；　　当时，　　原式；　　当时，　　原式；　　当时，　　原式　　综上知所求最小值为4。　　说明 运用此法解决含字母代数式绝对值化简方法是：（1）先求代数式零点，把数轴分为若干区间；（2）判定各区间内代数式的正负号；（3）依据绝对值的定义，去掉绝

6、对值符号。　　九、数形结合法　　例9 已知二次函数的图象如图所示，并设，则（  ）　　（A） （B） （C） （D）不能确定M为正、负或为0　　　　分析与解 令中，由图象得：；　　令得　　∵顶点在第四象限，　　∴顶点的横坐标　　又，　　而，　　∴，即　　故　　    　　选C。　　说明 运用此法是将抽象思维和形象思维结合起来，达到以形助数，以数助形，可以使许多复杂问题获得简便的解决。　　十、组合计数法　　例10 方程，共有几组不同整数解　　（A）16 （B）14 （C）12 （D）10　　分析与解 由已知条件可得　　　

7、　　　当时，；　　当时，；　　当时，；　　当时，。　　共有12组不同整数解，故选C。　　说明 此法具有较强的技巧性，必须认真分析条件，进行分类、归纳，从中找出解决问题的方法。　　十一、枚举法　　例11 已知a为整数，是质数，试确定a的所有可能值的和。　　分析与解 设是质数p，则仅有因子±1及。　　　　当时，　　，此时，；　　当时，　　，此时，；　　当时，　　，此时，；　　当时，　　，此时，　　∴当a取整数－1、－2、5、4时，是质数，即a的所有可能值的和为6。说明 运用此法是指在题目条件的范围内，将可能的情况一一列举出

8、来，然后通过比较、检验进行筛选，最终确定结果。求解下列各题：1、设实数a、b、c满足a

9、c

10、<

11、b

12、<

13、a

14、，则

15、x－a

16、＋

17、x－b

18、＋

19、x＋c

20、的最小值是（）。（A）（B）

21、b

22、（C）c－a（D）―c―a2、已知f(x)=

23、x－1

24、＋

25、x－2

26、＋…+

27、x-n

28、(n为偶数),则f(x)的最小值为______