关于河内塔问题的教学思考

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1、关于河内塔问题的教学思考湖南新化县教师进修学校肖乐农（417600）人教版小学数学教材四年级上册第120页有一道叫“河内塔问题”的思考题：你能借助②号杆把①杆上的珠子移到③号杆而不改变珠子的上下顺序吗？最少移动多少次？移动规则如下：（1）每次只能移动1个珠子；（2）大珠子不能放到小珠子上面。如果①号杆上有4个珠子呢？这个问题源自古印度的一个传说：在佛教圣地贝那勒斯的一个寺庙里有一块黄铜板，板上插着三根宝石针，第一根针上套着64块大小不等的金片（大的在下面，小的在上面）。传说这是开天辟地的神勃拉玛在创造世界时留在那里的。不论白天黑夜

2、，寺内都有一个僧人按照如下的法则移动金片：把第一根针上的金片移到第三根上去，而一次仅能移动一块，且在每次移动过程中不能将大金片置在小金片的上面。第二根针可以作辅助过渡用。神预言，当这64块金片都移到第三根针上时，世界末日就来临了，世间的一切终将毁灭，万物都将至极乐世界。数学书刊上有人把它叫做“世界末日问题”。教材安排这样一道经过简化的题目，是想让学有余力的学生，初步感知一下化归的数学思想方法。教参对这道题的解法做了一些简要的说明。至于怎么教学，笔者以为可以通过数学兴趣小组活动进行，先用阅读的形式或者听老师讲故事的形式，让学生对问题

3、的全貌有所了解，借以引起学生的兴趣，再让学生从移动1块金片开始，去探究其中的规律。（1）如果①号针上只有1块金片，把金片移到③号针上只需要移1次；（2）如果①号针上有2块金片，先把小金片移到②号针上，再把大金片移到③号针上，再把小金片移到③号针上，总共需要移3次；（3）如果①号针上有3块金片，先把上面的2块金片移到②号针上，需要移3次；再把最下面的1块大金片移到③号针上需要移1次；最后把②号针上的2块金片移到③号针上又需要移3次。总共需要移3＋1＋3＝7次；(4)如果①号针上有4块金片，先把上面的3个金片移到②号针上，需要移7次；

4、再把最下面的1块大金片移到③号针上需要移1次；最后把②号针上的3块金片移到③号针上又需要移7次。总共需要移7＋1＋7＝15次。至此，教材上的问题得到解决。如何引导学生解决“世界末日”这个更难一点的问题——当64块金片都移到第三根针上时，最少移动多少次？这时，可以引导学生观察由移动次数组成的数列：1，3，7，15，…结合上面的实践，可以猜想和探究其中隐藏的规律。因为学生在三年级下册教材第18页的思考题中，已经对4，8，16，32，(　　)和2，5，11，23，47，(　　)等数列有过先找规律后填数的经验。相信经过老师的启发和引导，学

5、生完全能够发现数列1，3，7，15，…的规律是：数列的后一项总是比前一项的2倍多1。这个规律可以这样来表述：如果把第一根针上的n片金片全部移到第三根针上所需最少次数为an，那么an＝2an-1+1。接下来，老师要不失时机地鼓励学生按照自己发现的规律，接着把金片的数目增加下去，得到移5块金片、6块金片、7块金片、…的移动次数：31，63，127，…随着移动金片的块数增多，移动的次数急剧增大，学生会觉得写出下一个数越来越困难。这时，老师可以引导学生根据前面规律写出的数，再寻求数列的规律：a1＝1＝21－1,a2＝2×1＋1＝3＝22－

6、1，a3＝2×3＋1＝7＝23－1,a4＝2×7＋1＝15＝24－1，……据此得到：an＝2n－1。当n＝64时，就有a64＝264－1。至此，我们从简单情形中出发，通过观察找规律，得到了问题的一般性答案，使我们感受到以简驭繁的魅力。问题的解决，必令学生的情绪越来越高涨。这时老师可以告诉学生：264－1是一个很大的数，它等于18446744073709551615，也就是说按照法则移动64片金片，需要移动18446744073709551615次。然后，再向学生提出一个新问题：假如僧人们每秒钟移动一次金片，夜以继日废寝忘食地照这样

7、移下去，需要移多少年？因为一年有60×60×24×365秒，所以需要18446744073709551615÷(60×60×24×365)≈5849亿年。老师在宣布这个答案时，相信学生一定会在一片惊呼中，极大地提高对数学的认识和兴趣。最后顺便指出：根据科学家的研究，地球的“寿命”不多于200亿年，5849亿年远远大于这个数，可见古印度传说仅仅是一个传说而已。——————————————————————————————————作者简介：肖乐农，男，高级讲师，湖南省特级教师，现任湖南省新化县教师进修学校副校长。主要研究方向是中小学数学

8、与教学以及数学的普及与传播，曾在报刊发表相关文章300余篇，出版专著两部。联系方式：电话：13762280969电子邮箱：xhxln85@163.com作者附言：同意编辑修改，希望告知处理结果。