约束非线性方程组的求解

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1、同济大学约束非线性方程组的求解约束非线性方程组的求解郭高月053312同济大学05届应用数学系邮编:200092[摘要]:下面要论述的是一个带约束非线性方程组求解的问题，在下面的文章中我们主要对非线性方程组的算法进行了分析和研究。在介绍非线性方程组求解中的经典方法——牛顿法的同时，我们进一步分析了影响算法的收敛速度和收敛域大小的因素，并针对牛顿法的一些不足对其进行了一些改进：在收敛速度上我们提出了固定Jacobi矩阵法、离散牛顿法、以及非线性的Gauss-Seidel方法，在对如何扩展收敛区域上我们提出了牛顿下山法和连续延拓法，最后我们又介绍了在大型非线性方程组求解中非常流

2、行的拟牛顿法。[关键词]:收敛速度/收敛区域/牛顿法/固定Jacobi矩阵法/离散牛顿法/NonlinearG-S方法/牛顿下山法/连续延拓法/拟牛顿法一、引言1、问题的提出：丙烷在空气中燃烧满足下面的方程组，其中，R=4.056743，10S=x，x为燃烧过程中各种物质的摩尔数，请选择适当的方法进行iii1求解。第1页同济大学约束非线性方程组的求解x1x432xxxxxx2xR10124789102x2xxx825672xx4R35xx0.193xx01524xx0.002597xxS06224xx0.0

3、03448xxS07414x4x80.00001799x2S0xx0.0002155xxS049132x(x0.00003486S)04102、问题：从上述实际背景下，要求选择一种计算方法来求解上述非线性方程组。结合实际条件，一个自然的约束是所有自变量x>0，现在我们i再引入一个变量x，令Sx，可经过化简得方程组：1111xx30142xxxxxx2x(R10)0124789102x22x5x6x7802xx4R035x1x50.193x2x40x6x20.002597x2x4x1

4、10()xx0.003448xxx0741411xx0.00001799xx048211xx0.0002155xxx04913112x(x0.00003486x)041011xxxxxxxxxxx01234567891011s.tx0,i1,2,.....,11i下面我们就要解决这样一个从实际问题中抽象出来的非线性方程组求根问题。这个问题与线性方程组求根相比，在理论和算法上的第2页同济大学约束非线性方程组的求解复杂度就远远增加了，而与单变量的非线性方程求根相比，这个问题在几何上的意义却又明显淡化了。鉴于此，我们

5、有必要去寻找新的方法来进行求解。二、数值方法与数值算例首先，当我们面对这样一个规模较大的非线性方程组求根问题时，一个自然的想法是借助计算机进行求解，再联系到在本学期数值分析上机实验中使用Matlab软件的经验，我们这里采取用Matlab求解的方法。在决定采用Matlab求解之后，我们将面临两个问题：第一，如何对这个问题进行求解；第二，在找到一种求解方法之后是否还能够进行改进，以便高效准确地求出此方程组的根。幸运的是，对于第一个问题，Matlab软件本身就具有求解大型非线性方程组的库程序。在Matlab中，我们有两种方法来求解非线性方程组：一种是利用符号运算求解，可以通过命令

6、solve实现，另一种是利用数值计算求解，可以通过命令fsolve实现。显然对于这样一个规模较大的非线性方程组问题，利用符号运算求解没有能够充分利用计算机海量的计算能力，因此是不经济的，故我们在这里不予考虑。下面我们对这个问题的讨论就集中在如何利用数值方法对其进行求解。首先我们可以通过调用相关库程序进行求解，输入命令：第3页同济大学约束非线性方程组的求解>>x0=ones(11,1);>>options=optimset('Display','iter');>>[x,fval,exitflag,output]=fsolve(@f,x0,options)NormofFirst

7、-orderIterationFunc-countf(x)stepoptimality012292.16217.5124248.033114.3236168.9732.58.234882.67866.251246019.916615.237517.15720.4584231.810822.096840.001486640.4237680.1137961.55119e-0050.3028090.00094981086.29306e-0091.657440.00015891201.55274e-0180.0340271