非线性方程组求解

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1、非线性方程(组)求解引言在945.36kPa（9.33atm）、300.2K时，容器中充以2mol氮气，试求容器体积。已知此状态下氮气的P-V-T关系符合范德华方程，其范德华常数为a＝4.17atm•L/mol2，b＝0.0371L/mol数学模型：范德华方程变形可得，这是关于V的非线性方程7/11/20212本章内容2.1非线性方程（组）数值求解基本原理2.2Matlab函数2.3多项式求根函数roots2.4非线性方程求解函数，fzero和fsolve2.5关系和逻辑运算2.6Matlab程序流程控制7/11/20213非线性方程与线性方程

2、相比，非线性方程问题无论从理论上还是从计算公式上都要复杂得多非线性方程一般形式方程的解称为方程的根或函数的零点对于高次代数方程，当次数>4时，则没有通解公式可用，对于超越方程既不知有几个根，也没有同样的求解方式。实际上，对于n≥3代数方程以及超越方程都采用数值方法求近似根7/11/20214数值法求根首选要给出一个初始猜测解，然后通过各种迭代格式使其逐次逼近准确解初值好坏对迭代收敛性有很大影响，因此初值的选取很重要对于有专业背景的问题，初值可以按条件选择，对于没有经验的问题，可以用图解法和计算机试算搜索法初估近似解7/11/202152.1.1

3、逐步扫描法求根的初始近似值用数值法求方程的根可分为两步，首先要找出根的某个近似值，又称为“初始值”，然后再采用特定算法将初始值逐步接近真实值，直到获得满足要求的结果逐步扫描法7/11/20216逐步扫描法7/11/202172.1.2求方程根的精确解非线性方程(组)的求解一般采用迭代法进行。迭代法是一种重要的逐次逼近方法。这种方法用某个固定公式反复校正根的近似值，使之逐步精确化，最后得到满足精度要求的结果常见的迭代算法有不动点迭代、二分法、牛顿法、弦截法、威格斯坦法（Wegstein）、抛物线法等7/11/20218不动点迭代法我们可以通过多种

4、方法将方程式转化为7/11/20219迭代方程例如方程可以转化为以下不同形式(1)(2)(3)7/11/202110方程的根从给定的初值x0，按上式可以得到一个数列：{x0,x1,x2,…,xk,…}如果这个数列有极限，则迭代格式是收敛的。这时数列{xk}的极限就是方程的根7/11/202111直接迭代法上述求非线性代数方程式数值解的方法称为直接迭代法（或称为不动点迭代法）。这个方法虽然简单，但根本问题在于当k->∞时，xk是否收敛于x*，也就是必须找出收敛的充分条件7/11/202112不动点定义：函数g(x)的一个不动点（fixedpoin

5、t）是指一个实数P，满足P=g(P)从图形角度分析，函数y=g(x)的不动点是y=g(x)和y=x的交点7/11/202113不动点迭代的图形解释7/11/202114不动点定理设有(i)g,g’∈C[a,b],(ii)K是一个正常数，(iii)p0∈(a,b)，(iv)对所有x∈[a,b]，有g(x)∈[a,b]如果对于所有x∈[a,b],有

6、g’(x)

7、≤K<1，则迭代pn=g(pn-1)将收敛到惟一的不动点P∈[a,b]。在这种情况下，P称为吸引（attractive）不动点。对于所有x∈[a,b],有

8、g’(x)

9、>1，则迭代pn=g(

10、pn-1)将不会收敛到P点。在这种情况下，P称为排斥（repelling）不动点，而且迭代显示出局部发散性7/11/2021152.1.2.2二分法7/11/2021162.1.2.3牛顿法牛顿法也称为牛顿-拉普森法或者切线法。由于这个方法的计算结果颇佳，而计算过程也比较简单，所以被普遍采用牛顿法的核心内容是通过泰勒级数将非线性方程式转化为线性方程式，然后用迭代法求解7/11/202117牛顿公式设方程式的近似根为则对的泰勒级数展开式为7/11/202118牛顿法示意图YOX7/11/202119牛顿法注意事项在单根附近，牛顿公式恒收敛，而且收

11、敛速度很快。但是需要注意如果初始值不在根的附近，牛顿公式不一定收敛在实际使用中，牛顿法最好与逐步扫描法结合起来，先通过逐步扫描法求出根的近似值，然后用牛顿公式求其精确值，以发挥牛顿法收敛速度快的优点7/11/2021202.1.2.4弦截法牛顿迭代法收敛速度快，但它要求计算函数导数的值。在科学与工程计算中，常会碰到函数导数不易计算或者算式复杂而不便计算的情况弦截法的基本思想与牛顿法相似，即将非线性函数线性化后求解。两者的差别在于弦截法实现函数线性化的手段采用的是两点间的弦线，而不是某点的切线7/11/202121弦截法示意图YOX7/11/20

12、2122弦截法注意事项与牛顿法只需给出一个初值不同，弦截法需要给出两个迭代初值。如果与逐步扫描法结合起来，则最后搜索的区间的两个端点值常可作为初值弦截