线性函数极值

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1、实验八线性函数极值求解西安交通大学数学与统计学院刘康民办公地点：理科楼214电子邮箱：liukm@mail.xjtu.edu.cn1实验目的本实验通过具体问题介绍线性规划的一些基本概念和性质；掌握线性规划问题的图解法、软件解法以及当线性规划问题规模较小，并且存在最优解时的理论解法。2实验内容本实验主要介绍线性函数的极值求解方法，即线性规划问题。它是运筹学的一个重要分支，在科学实践中有着广泛的应用，不仅许多实际课题属于线性规划问题，而且运筹学其它分支中的一些问题也可转化为线性规划问题来计算，因此，线性规划在最优化学科中占有重要地位。本实验通过具体

2、问题介绍线性规划的一些基本概念和性质，给出求解线性规划问题的图解法和软件解法以及当线性规划问题规模较小，并且存在最优解时的理论解法。3•美国空军为了保证士兵的营养，规定每餐的食品中，要保证一定的营养成份，例如蛋白质、脂肪、维生素等等，都有定量的规定。当然这些营养成份可以由各种不同的食物来提供，例如牛奶提供蛋白质和维生素，黄油提供蛋白质和脂肪，胡萝卜提供维生素，等等。由於战争条件的限制，食品种类有限，又要尽量降低成本，於是在一盒套餐中，如何决定各种食品的数量，使得既能满足营养成份的需要，又可以降低成本？•现代管理问题虽然千变万化，但大致上总是要利

3、用有限的资源，去追求最大的利润或最小的成本，如何解决这些问题？解决问题的方法：各种规划4•在波斯湾战争期间，美国军方利用线性规划，有效地解决了部队给养和武器调运问题，对促进战争的胜利，起了关键的作用。甚至有这样的说法：因为使用炸药，第一次世界大战可说是「化学的战争」；因为使用原子弹，第二次世界大战可说是「物理的战争」；因为使用线性规划，波斯湾战争可称为「数学的战争」。•在历史上，没有哪种数学方法，可以像线性规划那样，直接为人类创造如此巨额的财富，并对历史的进程发生如此直接的影响。5一、引例例1、生产计划问题：某企业生产A，B两种产品，成本和利润

4、指标如下：AB备用资源煤1230劳动日3260仓库0224利润4050问：A,B各生产多少,可获最大利润?6解:设产品A,B的产量分别为变量xx则：1，2，maxZ=40x+50x12x+2x30，123x+2x60，s.t.122x24，2xx0；1，2AB备用资源煤1230劳动日3260仓库0224利润40507例2：(资源配置问题)现有四种原料，其单位成本和所含维生素A，B，C成分如下：ABＣ每单位成本原料14102原料26125原料31716原料42538每单位添加剂中12148维生素最低含量求：最低成本的原料混合方案。8解：设

5、每单位添加剂中原料i的用量为xi(i=1,2,3,4)，则：minZ=2x+5x+6x+8x12344x+6x+x+2x12，1234x+x+7x+5x14，1234s.t.2x+x+3x8，234x0(i=1,…,4)；iABＣ每单位成本原料14102原料26125原料31716原料42538每单位添加剂中12148维生素最低含量9例3、(合理下料问题)有一批长度为7.4m的钢筋若干根。现有5种下料方案，分别作成2.9m，2.1m，1.5m的钢筋架子各100根。每种下料方案及剩余料头如下表所示：ⅠⅡⅢⅣⅤ2.9m120102.1m00

6、2211.5m31203合计7.47.37.27.16.6料头00.10.20.30.8问：如何下料使得剩余料头最少？10解：设按第i种方案下料的原材料为x根，则：iminZ=0.1x+0.2x+0.3x+0.8x2345x+2x+x=100，1242x+2x+x=100，s.t.3453x+x+2x+3x=100，1235x0(i=1,…,5)，且为整数；iⅠⅡⅢⅣⅤ2.9m120102.1m002211.5m31203合计7.47.37.27.16.6料头00.10.20.30.811例4、(运输问题)某棉纺厂的原棉需从仓库运送到各车间。

7、各车间原棉需求量，单位产品从各仓库运往各车间的运输费以及各仓库的库存容量如下表所列：车间123库存容量仓库121350222430334210需求401535问：如何安排运输任务使得总运费最小？12解：设xij为i仓库运到j车间的原棉数量(i＝1,2,3;j＝1,2,3)。则minZ=2x11+x12+3x13+2x21+2x22+4x23+3x31+4x32+2x33x11+x12+x1350，车间123库存容量x21+x22+x2330，仓库121350s.t.x31+x32+x3310，222430x11+x21+x31=40，x1

8、2+x22+x32=15，334210x13+x23+x33=35，需求401535xij0，i＝1,2,3;j＝1,2,3;13例5、连续投资10