实验8 (线性函数极值求解)

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1、数学实验实验8线性函数极值求解实验目的1、学会根据实际问题建立线性规划模型，求解线性极值问题。2、掌握用matlab软件求解线性规划和线性极值问题。实验内容1、用matlab软件求解线性函数极值；2、几个具体线性规划模型的建立及求解。一种特殊形式的数学规划模型，即目标函数和约束条件是待求变量的线性函数、线性等式或线性不等式的数学规划模型。它可用于解决各种领域内的极值问题。它所描述的典型问题是怎样以最优的方式在各项活动中间分配有限资源的问题。用n维向量x=(x1,x2,…,xn)T表示未知变量，求目标函数f(x)在x允许的范围x∈Ω内的极小值（极大值）问题可统一表述为如下模型：模

2、型1min(max)f(x)（1）S.t.x∈Ω（2）称Ω为可行域，常用一组关于x的不等式（或等式）确定，亦称为约束条件。称满足（2）的解为可行解，同时满足（1）的解x*称为最优解。线性规划（线性极值）模型模型2min(max)f(x)=CTx，线性规划（线性极值）模型模型3min(max)f(x)=CTx，其中c=(c1,c2,…,cn)T，x=(x1,x2,…,xn)T一般的模型可以通过引入松驰变量（增加变量）转化为标准形式，标准形式有如下特点：（1）所有约束条件是等式；（2）约束条件右端常数项为非负；（3）所有变量为非负。1）作出可行域的图形；2）作出目标函数等值域；3）

3、将目标函数等值线自坐标原点开始向上（下）平移，与可行域的最后一个交点就是最优解；4）求最优解坐标和最优值。线性规划模型Ⅱ的解法——图解法设A是秩为m的m×n阶矩阵，A的m个线性无关的列构成的子矩阵AB称为模型Ⅱ的一个基（基阵），AB的列向量称为基列（基向量），相应于基列的变量称为基变量。自然地，其余的列称为非基向量，相应的变量称为非基变量。线性规划模型Ⅱ的解法——理论解法其中AB为基阵，AN为非基阵，xB由基变量构成，xN由非基变量构成。为Ax=b的一个解，若令xN=0，则称为模型Ⅱ的一个基本解；若AB-1≥0，则称x’为模型Ⅱ的一个基本可行解，简称可行解，这时的基阵AB称为可

4、行基。由得，那么线性规划模型Ⅱ的解法——理论解法调用函数：linprog用matlab软件求解线性规划linprog(c,A,b)linprog(c,A,b,vlb,vub)linprog(c,A,b,aeq,beq,vlb,vub)[x,fval]=linprog(…)%fval是目标函数的最值。数学模型命令用matlab软件求解线性规划问题：示例1问题可改写为c=[1;3];A=[-1-1;10];b=[-20;12];vlb=[6;2];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],vlb,vub)示例1程序一程序运行结果为x=12.00008.

5、0000fval=36.0000c=[1;3];A=[-1-1];b=[-20];vlb=[6;2];vub=[12;inf];[x,fval]=linprog(c,A,b,[],[],vlb,vub)示例1程序二程序运行结果为x=12.00008.0000fval=36.0000车间ABC生产单位甲产品需工时数210生产单位乙产品需工时数111一周可用工时数1087示例2已知生产单位甲产品工厂可获利4万元，生产单位乙产品工厂可获利3万元，问该厂如何安排生产才能使每周获得的利润最大？某工厂生产每件产品需经过A、B、C三个车间，每个车间所需的工时数如下表所示，示例2：模型建立这是

6、一个有约束的优化问题，其模型包括决策变量：生产甲乙两种产品的产量x1,x2；目标函数；工厂的周利润z；约束条件：三个车间可使用工时之和以及非负性约束，由此得如下模型：示例2：模型求解（一）——图解法下图中顶点分别为O、A、B、C、D五点的凸五边形为可行域。示例2：模型求解（二）——理论解法首先引入松弛变量，化成标准形式：选取基矩阵B=(P1,P2,P3)，解得基本解x1=(1,7,1,0,0)T选取基矩阵B=(P1,P2,P5)，解得基本解x2=(2,6,0,0,1)T选取基矩阵B=(P2,P3,P4)，解得基本解x3=(0,7,3,1,0)T选取基矩阵B=(P1,P4,P5)

7、，解得基本解x4=(5,0,0,3,7)T选取基矩阵B=(P3,P4,P5)，解得基本解x5=(0,0,10,8,7)T选取基矩阵B=(P1,P2,P4)，解得基本解x6=(1.5,7,0,-0.5,0)T选取基矩阵B=(P1,P3,P5)，解得基本解x7=(8,0,-6,0,7)T选取基矩阵B=(P2,P3,P5)，解得基本解x8=(0,8,2,0,-1)T选取基矩阵B=(P2,P4,P5)，解得基本解x9=(0,10,0,-2,-3)T示例2：模型求解（二）——理论解法c=[-4,-3]