第2讲曲线运动的描述

《第2讲曲线运动的描述》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第三节曲线运动的描述质点的运动总是要经过一定的轨道。在第二节，讲述了描述质点运动所需要的四个物理量，并没有涉及质点运动所经历的轨道的样式。质点的运动轨道可以是直线，也可以是曲线，且曲线运动是常见的运动形式，因此本节将研究如何描述质点的曲线运动。为简单起见，本节只研究平面曲线运动，即质点运动的轨道在一个平面上。描述质点的曲线运动，就是要找出质点在曲线运动过程中的位置、速度、加速度及运动方程等的数学表示形式。1曲线的描述――曲线的曲率、曲率圆、曲率半径、曲率中心、邻切角如图1所示，从曲线上的两个临近的点P

2、1、P2各引出一条切线，设两条切线的夹角为△θ，两点P1、P2间的弧长为△s，那么曲线在P1点处的曲率定义为(1)Rds图1曲线的曲率、邻切角、曲率圆图1中，两个无限临近的点P1、P2切线间的夹角dθ称为邻切角。由1式看到，曲线上某点的曲率等于在此点处的邻切角dθ与元弧ds的比值。过P1点可以作一个圆，若此圆的曲率等于P1点处曲线的曲率，那么此圆称为曲线在此点处的曲率圆。此曲率圆的半径为(2)并称其为曲线在此点处的曲率半径，曲率圆的圆心O称为此曲线在P18点处的曲率中心。2平面曲线运动的描述在上一节，

3、使用直角坐标系描述物体的质点的运动是较常用的方法，但是在描述曲线运动时，直角坐标系就显得不很方便，自然坐标系则能够方便地描述质点的曲线运动。2.1自然坐标系如图2所示，在描述曲线运动时，可以在曲线上任意选一个点O作为原点，沿着曲线建立一个弯曲的坐标轴，并沿着曲线指定一个正方向(人为的，随意的)，这样就建立了自然坐标系。OPsOP-s(a)(b)图2自然坐标系自然坐标系中常常使用两个单位矢量表示速度和加速度：切向单位矢量和法向单位矢量。切向单位矢量：沿曲线的切线且指向自然坐标s增加的方向的单位矢量，通常

4、用τ表示。法向单位矢量：沿着曲线的法线方向且指向曲线凹侧的单位矢量，通常用n表示。很明显，这两个单位矢量是相互垂直的。曲线上任意一点P处的切向单位矢量和法向单位矢量如图3所示。OPsnτ图3τ和n注意：τ和n不是恒矢量。虽然其大小不变，皆为1，但其方向将随着P点的位置的变化而发生变化。因而，(0矢量)。2.2自然坐标系中质点的位置及运动方程质点相对于原点的弧长s就是它在此坐标系中的位置坐标。图2a中点P的8位置坐标为s，而图2b中点P的位置坐标为－s。自然坐标系中，质点的运动方程为s＝s(t)2.3曲

5、线运动中质点的速度如图4所示，质点沿着曲线运动，t时刻运动到P1点，t＋△t时刻运动到P2点，当△tà0时，△r的方向趋于P1点的切向；而△r的大小则等于P1到P2的弧长△s。所以有，当△tà0时，△r＝△sτ。根据质点速度的定义(3)式中，是速度的切向分量。由此看到，在曲线运动中质点的速度没有法向分量，仅有切向分量，且指向物体运动的方向。P1P2△r△sv图4质点的速度2.4曲线运动中质点的加速度如图5所示，对于曲线运动，质点的加速度的方向一般不会与质点的速度方向相同，且加速度的方向总是指向曲线凹进

6、去的一边。OPsa图5加速度的方向利用自然坐标系，将质点运动的加速度分解成切向加速度和法向加速度是比较方便的。下面设法进行分解。如图6a所示，质点沿着曲线运动，t时刻运动到P1点，速度为v1，t＋△t时刻运动到P2点，速度为v2，并设曲线在P1点处的曲率半径为R。求质点在P1点处的加速度。设邻切角为△θ，弧长为△s。如图6b所示，将矢量v2平移到A点，在矢量8AC上截取

7、AD

8、＝

9、AB

10、的长度，连接BD、BC，那么矢量BC＝△v就是速度增量，注意到

11、△vτ

12、＝△v反映了速度大小的增量，而矢量BD＝△v

13、n则反映了速度方向的增量。由此速度的增量可表示为△v＝△vτ＋△vn图6切向加速度与法向加速度注意：一般说来，△v≠

14、△v

15、。因为：△v＝v2－v1，

16、△v

17、＝

18、v2－v1

19、；△v＝

20、v2

21、－

22、v1

23、是速度大小的改变量。下面说明，极限情况下，△vτ是速度增量的切向分量，而△vn则是速度增量的法向分量。在图6c中，当△tà0时，△θà0，则∠ABDà90°，即△vn与P1点的切线垂直，因而沿着曲线在P1点的法线方向。则有△vn＝

24、△vn

25、n，若令v＝

26、v1

27、，由于△θà0时，

28、△vn

29、＝v△θ，所以△v

30、n＝

31、△vn

32、n＝v△θn，图6c中，△θà0时，△vτ的方向与v1方向相同，即沿着曲线在P1点的切线方向。于是有：△vτ＝

33、△vτ

34、τ=△vτ，由此，P1点的加速度为(4)利用(2)及(3)式有，。于是，(4)式可写成8(5)式中，。是切向加速度分量，反映了速度大小的变化；是法向加速度分量，反映了速度方向的变化。进一步，根据(3)式，有(6a)(6b)加速度的大小为(6c)加速度的方向与切线方向的夹角(6d)国际单位制中加速度的单位为：米/秒2(m/s