控制系统的稳定性分析

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1、第4章控制系统的稳定性分析4.1稳定性的基本概念4.2劳思-赫尔维茨判据4.3Nyquist稳定性判据4.4稳定性裕量1940年，美国华盛顿州的塔科玛峡谷上花费640万美元，建造了一座主跨度853.4米的悬索桥。只要有风，这座大桥就会晃动。建成4个月后，于同年11月7日碰到了一场风速为19米/秒的风。风不算大，但桥却发生了剧烈的扭曲振动，且振幅越来越大（接近9米），直到桥面倾斜到45度左右，使吊杆逐根拉断导致桥面钢梁折断而塌毁，坠落到峡谷之中。原因：流体对物体会产生一个周期性的交变横向作用力，如果力的频率与物体的固有频率相接近,引起共振,使

2、物体损坏。第4章控制系统的稳定性分析4.1稳定性的基本概念4.2劳思-赫尔维茨判据4.3Nyquist稳定性判据4.4稳定性裕量自动控制系统稳定性的定义：控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态，当扰动作用消失后，系统仍能自动恢复到原来的初始平衡状态，则称系统是稳定的，否则称系统是不稳定的。（线性定常系统适用）4.1稳定性的基本概念(a)稳定(b)不稳定稳定性是控制系统自身的固有特性，取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。4.1稳定性的基本概念自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平

3、面左半部。设系统传递函数为：假设系统特征方程的根中有K个实根，2k个共轭复根在理想脉冲函数作用下，当t>0时，r(t)=0,对于稳定系统，时输出量c(t)=0。如果pi和i均为负值,当t时,c(t)0，系统稳定。此时R(s)=1S平面稳定性与零点无关，与系统特征方程有关。4.1稳定性的基本概念系统特征方程的根全部具有负实部。第4章控制系统的稳定性分析4.1稳定性的基本概念4.2劳思-赫尔维茨判据4.3Nyquist稳定性判据4.4稳定性裕量特点：无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。劳思(routh)判据赫尔维茨(

4、Hurwitz)判据4.2劳思-赫尔维茨稳定判据不受系统阶数限制，如不稳定还能判断有几个根在s平面的右半部分。只适用于低阶系统。劳思(routh)判据赫尔维茨(Hurwitz)判据4.2劳思-赫尔维茨稳定判据劳思阵列4.2.1劳思(routh)判据如果符号相同系统具有正实部特征根的个数等于零系统稳定；如果符号不同符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数系统不稳定。控制系统稳定的充分必要条件：劳思阵列第一列元素不改变符号。“第一列中各数”注：通常a0>0，因此，劳斯稳定判据可以简述为劳斯阵列表中第一列的各数均大于零。劳思(rou

5、th)判据4.2.1劳思(routh)判据已知：特征方程如下例1：判断系统稳定性所以，系统不稳定，具有两个正实根。例2：求系统稳定时k的取值范围例3：特殊情况1：第一列出现0特殊情况2：某一行元素均为04.2.2劳思(routh)判据的特殊情况各项系数均为正数用任意小正数代之特殊情况1：第一列出现0S2行第一列出现0，说明系统处于临界稳定状态（不稳定），如要再求有几个正实部特征根，其解决方法：特殊情况1：第一列出现0特殊情况2：某一行元素均为04.2.2劳思(routh)判据的特殊情况全0行的上一行元素构成辅助方程各项系数均为正数求导后方

6、程系数代入全零行特殊情况2：某一行元素均为0S3行出现全0，说明系统处于临界稳定状态（不稳定），如要再求有几个正实部特征根，其解决方法：系统在s平面有对称分布的特征根大小相等、符号相反的实根共轭虚根对称于实轴的两对共轭复根原因分析：特殊情况2：某一行元素均为0课堂练习P1684-1(1)(5)4-2(1)劳思(routh)判据赫尔维茨(Hurwitz)判据4.2劳思-赫尔维茨稳定判据系统的n阶赫乐维茨行列式取各阶主子行列式作为1阶~（n-1）阶赫尔维兹行列式赫尔维茨行列式控制系统稳定的充分必要条件是：当a0>0时，各阶赫尔维茨行列式1、

7、2、…、n均大于零。一阶系统二阶系统a0>0时,a1>0(全部系数同号)a0>0时,a1>0,a2>0(全部系数同号)a0>0时a0>0时赫尔维茨(Hurwitz)判据三阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0(全部系数数同号)a0>0时a1a2>a0a3四阶系统a0>0时,a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系数数同号)a0>0时一阶系统a1>0(全部系数同号)a1>0,a2>0(全部系数同号)a1>0,a2>0,a3>0(全部系数同号)a1a2>a0a3a1>0,a2>0,a3>0,a4>0(全部系数同号)归纳：

8、a0>0时二阶系统三阶系统四阶系统K值的稳定范围应用P148表中四阶系统赫尔维茨判据例题：求K值的稳定范围课堂练习：单位反馈系统,已知系统开环传递函数如下：判断上述系统开环增益K