控制系统的稳定性分析

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1、第5章控制系统的稳定性分析5.1引言一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳定的系统。稳定性的定义为：当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态下继续工作。1892年，俄国学者李亚普诺夫（AleksandrMikhailovichLyapunov，1857－1918)在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义，提出了解决稳定性问题的一般理论，即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法，是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析

2、皆适用的通用方法，是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法，即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。▲李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统，只需解出全部特征根即可判断稳定性；对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性，故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。▲李亚普诺夫第二法（简称李氏第二法或直接法）的特点是不必求解系统的微分

3、方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。该方法建立在能量观点的基础上：若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则随着系统的运动，其储存的能量将随时间增长而不断衰减，直至系统运动趋于平衡状态而能量趋于极小值。由此，李亚普诺夫创立了一个可模拟系统能量的“广义能量”函数，根据这个标量函数的性质来判断系统的稳定性。由于该方法不必求解系统的微分方程就能直接判断其稳定性，故又称为直接法，其最大优点在于对任何复杂系统都适用，而对于运动方程求解困难的高阶系统、非线性系统以及时变系统的稳定性分析，则更能显示出优越性。5.2李亚普诺夫稳定性的基本概念李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系

4、统各平衡态附近的局部稳定性问题。它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系统。5.2.1平衡状态稳定性是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质，与外部输入无关。对于系统自由运动，令输入u=0，系统的齐次状态方程为（5－1）式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；为线性或非线性，定常或时变的n维向量函数，其展开式为（5－2）式（5－1）的解为（5－3）式中，为初始时刻，为状态向量的初始值式（5－3）描述了系统式（5－1）在n维状态空间的状态轨线。若在式（5－1）所描述的系统中，存在状态点，当系统

5、运动到达该点时，系统状态各分量维持平衡，不再随时间变化，即，该类状态点即为系统的平衡状态，即若系统式（5－1）存在状态向量，对所有时间t都使（5－4）成立，则称为系统的平衡状态。由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。式（5－4）为确定式（5－1）所描述系统平衡状态的方程。平衡态即指状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点(状态)。由于导数表示的状态的运动变化方向，因此平衡态即指能够保持平衡、维持现状不运动的状态。李雅普诺夫稳定性研究的是平衡态附近(邻域)的运动变化问题。若平衡态附近某充分小邻域内所有状态的运动最后都趋于该平衡态，则称该平衡态是渐近稳定的

6、；若发散掉则称为不稳定的，若能维持在平衡态附近某个邻域内运动变化则称为稳定的。平衡态附近(邻域)的运动变化图【例5－1】设系统的状态方程为，求其平衡状态。解：其平衡状态应满足平衡方程式（5－4），即，即解之，得系统存在3个孤立的平衡状态5.2.2范数和球域定义为度量n维空间中的点之间的距离。对n维空间中任意两点的和，它们之间距离的范数记为。范数:工程中常用的是2－范数:在n维状态空间中，若用点集表示以为中心、为半径内的各点所组成空间体称为超球域，那么，，则表示（5－6）当很小时，则称为的邻域。因此，若有，则意味着。同理，若方程式（5－1）的解位于球域内，便有（

7、5－7）表明齐次方程式内初态或短暂扰动所引起的自由响应应是有界的。5.2.3李亚普诺夫稳定性定义一、李亚普诺夫意义下的稳定在H邻域内，若对于任意给定的，均有：如果对应于每一个，存在一个，使得当t趋于无穷时，始于的轨迹不脱离，则式(5－1)系统之平衡状态称为在李雅普诺夫意义下是稳定的。一般地，实数与有关，通常也与t0有关。如果与t0无关，则称此时之平衡状态为一致稳定的平衡状态。以上定义意味着：首先选择一个球域S(），对应于每一个S(），必存在一个球域S(），使得当t趋于无穷时，始于S(）的轨迹总不脱离球域S(）。二、渐近稳定（经典控制理论稳定性定

8、义）如果平衡状态，在李雅普诺夫意义下是