柯西积分公式和解析函数的高阶导数

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1、1§3-3Cauchy积分公式和高阶导数公式一、解析函数的Cauchy积分公式二、解析函数的高阶导数定理21.问题的提出根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线C的变化而改变,求这个值.一、解析函数的Cauchy积分公式342.Cauchy积分公式Cauchy积分公式定理15证明：以为心作一完全包含于内的圆盘,并且记其边界为圆.在上，挖去圆盘,余下的点集是一个闭区域.在上函数解析,由柯西积分定理有：在这里沿的积分是按照区域的正向取的，沿的积分是按正向取的,即逆时针方向.以下我们证明：6记由柯西积分定理知：是个不依赖于的常数，从而我们证明由于和在z0是连续的，所以对于任意的

2、，可以找到7使得当，时，有从而当从而故于是证得称为积分基本公式或柯西积分公式．D8定理1对于由条围线所围成的复连通区域仍然有效．定理1从揭示解析函数的性质、表示解析函数及提供计算积分的方法等三方面给我们以启示．定理1为我们提供了计算如（*）式左端的积分的方法这类积分的特征是:积分路径是围线,被积函数为一分式,它在积分路径内部只含一个奇点,且该奇点是使分母为零的点,而在积分路径上无被积函数的奇点．（*）9关于Cauchy积分公式的说明:把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.（这是解析函数的一个重要特征）(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且

3、给出了解析函数的一个积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具)10例1解由Cauchy积分公式11例2解由Cauchy积分公式12例3计算积分．解首先，识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到利用（*）式计算积分．最后，经验证，所求积分满足定理1的条件，于是，由（*）式得13解首先，识别积分类型．它是具有（*）式左端积分的特征的那类积分．其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较，在形式上是不一样的．但是，如果将它变形为例4计算积分．那么在形式上与（*）式左

4、端的积分一样．由此利用（*）式计算．最后，经验证所求积分满足定理1的条件，于是由（*）式得14例5计算积分被积函数在积分路径内部含有两个奇点与作，有计算上式右端两个积分故15观察下列等式问题：解析函数的导函数一定为解析函数？若是，则其导函数可否用一公式来表示呢？16高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.二、解析函数的高阶导数定理定理217证利用数学归纳法证明该定理．⑴设      ，证上式成立，即证(1)欲证(1)式，只须证为此，设C的长度为  ，      在C上满足             ，令由定理有18于是由此有故即19⑵设     

5、  时，题设式子成立，证           时，题设式子成立，即证20假设（3-3-3）当时成立。设以为心，以为半径的圆盘完全包含在内，并且在这圆盘内取使得，那么当时，21那么22由此可以证明：当，的右边趋于零。于是（3-3-3）当时成立。证毕。由⑴与⑵证得定理．23推论：若函数在点解析，则存在点的一个邻域，使得在该邻域内有任意阶导数，其各阶导数也解析；并且在该邻域内函数和的各阶偏导数不仅存在而且都连续。证明：由函数在点解析知：可作一圆盘使得在该闭圆盘上解析。于是对该圆盘应用定理2。24例6计算积分解：由高阶导数公式25解首先，识别积分的类型．它是具有（*）式左端积分

6、的特征的那类积分．其次，将所求积分与（*）式左端的积分比较后，知道所求积分在形式上与（*）式左端的积分相同．由此想到用（*）式计算积分．最后，经验证，所求积分满足定理2的条件，由（*）式得例7计算积分26例8（1）（2）解（1）函数的奇点在圆的内部，而其它的两个奇点在左半平面，从而在该圆的外部。于是函数在闭圆盘上解析，由定理2可得：（2）同理其中在闭圆盘上解析，因此27例9解2829典型例题例解由Cauchy积分公式30例解根据Cauchy积分公式知,31例解32例解33由复合闭路定理,得例解34例解35根据复合闭路原理36于是37例解由Cauchy积分定理得由Cauc

7、hy积分公式得3839例解40根据复合闭路原理和高阶导数公式,4142课堂小结：掌握柯西积分公式；2.掌握解析函数的高阶导数公式，了解解析函数无限次可导的性质.43第三章作业：P995.6.（1）（2）7.（1）（2）（3）（5）（9）8.（1）（4）9.（2）（3）（5）10.30.（1）（3）