弹性力学第6章—弹性力学问题的建立与基本解法

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1、弹性力学课件制作：丁勇、单艳玲、章子华配套教材：《弹性与塑性力学引论》中国水利水电出版社，丁勇宁波大学建筑工程与环境学院联系方式：137210762@qq.com弹性力学第6章弹性力学问题的建立与基本解法6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学基本方程平衡方程：应力分量与体力分量间的关系式∂∂στ∂τ⎫xzyxx+++=F0⎪bx∂∂∂xyz⎪∂∂∂τστ⎪xyyzy+++=F0⎬by∂∂∂xyz⎪∂∂τσ∂τ⎪xzyzz+++=F0⎪bz∂∂∂xyz⎭用张量公式表示为σ+F=0ij,jbi6.1弹性力学基本方程与边

2、界条件弹性力学基本方程几何方程：应变分量与位移分量间的几何关系式∂uu∂∂v⎫εγ==+xxy⎪∂x∂∂yx⎪∂vv∂∂w⎪εγ==+⎬yyz∂yz∂∂y⎪∂ww∂∂u⎪εγ==+⎪zzx∂z∂∂xz⎭用张量公式表示为1εij=(ui,j+u,ij)2此外还可补充6个应变协调方程6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学基本方程本构方程：应变分量与应力分量间的物理关系式(物理方程)1τxy⎫εσσxxy=−+⎡⎤⎣⎦v()σzγxy=⎪EG⎪1τyz⎪εσσ=−+⎡⎤v()σγ=⎬yy⎣⎦zxyzEG⎪1τ⎪εσσ=−

3、+⎡⎤v()σγ=zxzzxE⎣⎦yzxG⎪⎭用张量公式表示为1+vvε=σ−δσijijijkkEE6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学边界条件应力边界条件：坐标面上的应力分量与边界面上的面力分量之间的关系式pnnn=++σττ⎫（张量形式)xxxyxyzxzpnnn=++τστ⎬⎪p=σnyxyxyyzyziijjpnnn=++ττσ⎪zxzxyzyzz⎭位移边界条件：边界上位移与约束间的关系式u=u（张量形式)ii混合边界条件：pii=σjnj在上Sσui=ui在上Su6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力

4、学问题的提法：弹性力学问题是在给定边界或内部作用（温度、外力等）下，求解物体内部的应力、应变和位移场。弹性力学问题共有15个方程，即3个平衡方程、6个几何方程、6个本构方程；求解变量也是15个，即3个位移分量、6个应变分量、6个应力分量，在给定边界条件时，问题可解。平衡方程：σij,j+Fbi=01几何方程：εij=(ui,j+u,ij)21+vv本构方程：εij=σij−δijσkkEE6.2弹性力学问题的基本解法6.2.1位移法位移法是以位移为基本未知量的解法，为此需要用位移表示平衡方程。即先将应力用应变表示，再

5、将应变用位移表示；最后代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程⎧∂θ2()λμ++∇+=μuF0⎪bx∂x⎪⎪∂θ2⎨()λμ++∇+=μvF0by∂y⎪⎪∂θ2⎪()λμ++∇+=μwF0bz⎩∂z2222∂∂∂其中θ=++εεε，∇=++xyz222∂x∂y∂z6.2弹性力学问题的基本解法位移法：上述位移法平衡方程表示为张量形式为(λ+μ)u+μu+f=0j,jii,jji位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构方程的信息，求解时只需补充边界条件。当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为给定面力

6、时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的应力用位移来表示。无需应变协调方程！6.2弹性力学问题的基本解法6.2.1应力法应力法是以应力为基本未知量的方法，平衡方程⎧∂σ∂τ∂τxyxzx+++F=0⎪bx∂x∂y∂z⎪⎪∂τxy∂σy∂τzy⎨+++Fby=0⎪∂x∂y∂z⎪∂τ∂τ∂σxzyzz+++F=0⎪bz⎩∂x∂y∂z由应力求得的应变还需要满足应变协调方程。因为前面的应变协调方程是用应变表示的，所以还需要转化为用应力表示。需要应变协调方程！6.2弹性力学问题的基本解法应力法：应力表示的应变协调方程称为米

7、切尔方程：∂∂∂2vF⎛⎞∂FF∂F⎫21σbxbybzbx∇+σx2=−⎜⎟++−2⎪11+∂vx−∂vx⎝⎠∂y∂z∂x⎪∂∂∂2vF⎛⎞∂∂FFF⎪21σbxbybzby∇+σ=−⎜⎟++−2⎪y211+∂vy−∂vx⎝⎠∂y∂z∂y⎪2⎪21∂∂∂σvF⎛⎞bx∂∂FbyFbzFby⎪∇+σ=−⎜⎟++−2y211+∂vy−∂vx⎝⎠∂y∂z∂y⎪⎬∂∂2⎛∂FF21σbybx⎞⎪∇+τ=−⎜+xy⎟⎪1+∂∂vxy⎝∂x∂y⎠⎪∂∂2⎛⎞F∂F⎪21σbzby∇+τ=−⎜⎟+⎪yz1+∂∂vyz⎝⎠∂y∂z

8、⎪∂∂2FF∂⎪21σ⎛⎞bxbz∇+τ=−⎜⎟+⎪zx1+∂∂vzx⎝⎠∂z∂x⎭因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。6.4解的唯一性定理圣维南原理叠加原理6.4.1解的唯一性定理弹塑性力学基本方程在给定边界条件情况下，其解是唯一的。下面在小变形、线弹性条件下来证明。假设同一弹性