弹性力学,力学

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1、2~8按位移求解平面问题(位移法)基本方程1、平衡微分方程（2-2）（2个）2、几何方程（3个）3、物理方程（3个）求解方法:位移法，力法，混合法。二、平面应力问题：位移法求解思路：以位移分量作为基本未知量2、由几何方程用位移表出应力平衡方程式（2-17）即为用位移表示的平衡微分方程，为按位移求解平面应力问题的基本微分方程。（表示按位移求解平面应力问题时，解出的应力必须满足平衡微分方程）(2-17b)3.应力边界条件4.位移边界条件把（2-16a）代入应力边界条件（2-15）仍为（2-14）式(2-18)式即为用位移表示的应力边界条件，为按位移求解平面应力问题时的

2、应力边界条件。二、平面应变问题：三、讨论对平面应力方程的E、μ作如下变换后即可得到平面应变问题的相应方程和边界条件：§2.9按应力求解平面问题相容方程一.按应力求解思路基本未知量基本方程：用应力分量表示平衡方程（2-2）用几何方程构造一个补充方程---变形协调方程，而后再借用物理方程以获得用应力描述的相容方程。二.变形相容（协调）方程（同一平面内{间的关系）应变相容方程由几何方程：再对y求导消去v说明：（2-19）用应变表示的相容方程。表示同一平面内一点处的三个应变分量必须相互协调，才能保证变形时不发生开裂或相互嵌入（位移连续），位移存在且是x，y的连续函数

3、。开裂嵌入连续三.应力相容方程由物理方程代入（2-19）式得与平衡方程联立(2-20)（2-2）化简（2-21a）应力表示的相容方程结论：进一步化简：注：对于平面应变问题用代换（2—21b）按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-21）容）求出应力分量{，并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边，及位移单值条件。(2-21a)作业：2-17§2-10应力函数—常体积力一.简化相容方程当体力为常量时，fx=C,fy=C’（2-21）容简化为：—拉普拉斯算子（2—22）二.应力函数为非齐次偏微分方程组结论：当体力为常量时，按应力求解平

4、面应力（应变）问题，可归结为根据（2-2）平及（2-22）容求出应力分量{},并要求在边界上满足应力边界条件（2-15）边及位移单值条件。研究（2-2）平及（2-22）容的求解（2—22）1.对应的齐次偏微分方程的通解所以,必存在一个具有全微分的函数A（x，y）根据微分方程解的理论，(2—2）平的解由两部分组成,对应的齐次偏微分方程的通解及其一个特解。由第一式有全微分充要条件PQ同理：将第二式写为根据全微分充要条件，同样存在另一个函数B（x，y）（a）（b）(d)（c）比较（a）（d）两式，由剪应力互等定理齐次偏微分方程的通解Φ—平面应力函数（Airy应力函数）

5、同理可以找到一个函数Φ（x，y），有2.非齐次方程特解3.平衡方程的全解（2-23）将（2-23）代入（2-22）容（2-22）容可记为：这里Φ（x，y）为双调和函数注：满足的Φ函数称调和函数展开后：（2—24）结论：1.当应力函数Φ为满足双调和方程的双调和函数时（2—23）可以同时满足（2-2）平及（2-22）容，故（2—23）为（2-2）平及（2-22）容的解。（2—24）为用应力函数表示的相容方程2.当体力为常量时，按应力求解平面应力（应变）问题，可归结为根据（2-24）容求出应力函数Φ，然后根据（2—23）求出应力分量{并要求在边界上满足应力边界条件（

6、2-15）边，及位移单值条件（多连体时）。[多连体的位移单值条件]单连体：具有一个连续的边界。多连体：具有两个以上互不相交的连续的边界。位移单值条件：一点处的位移是单值的。*按应力求解时，要利用位移单值条件，才能完全确立应力分量[例题]解：1.满足平衡微分方程将x=y=-q,xy=0代入故满足平衡方程qxyqO任意形状等厚度薄板全部边界上受均布压力q，试证明：满足平衡方程、相容方程和应力边界条件，也满足位移单值条件，是问题的解（习题2—16）2.满足相容方程3.满足边界条件：将x=y=-q,xy=0代入，自然满足qqlqmxyxyyxxy将x

7、=y=-q,xy=0，代入4.位移单值条件：2）求位移：满足1）求应变：（1）（2）（3）代入（3）得于是有：由（1）式积分由（2）式积分结论：所给应力解答满足平衡微分方程、相容方程、且在边界上满足应力边界条件，对于多连通域满足位移单值条件，故为问题的解。作业：2-18积分：上式为线性函数，为单值函数。参考：格林公式曲线积分与路线的无关性定理：设D是单连通域，若函数P（x，y），Q（x，y）在D内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价：1.沿D内任一按段光滑封闭曲线L,有:2.沿对D中任一按段光滑曲线L,曲线积分:与路线无关,只与L的起、终点有关。3.

8、是D内某一