地震学百科知识(三)——地震学反演问题

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1、第4期(总第412期)国际地震动态No．4(SerialNo．412)2013年4月RecentDevelopmentsinWorldSeismologyApril，2013地震学百科知识(三)地震学反演问题*许忠淮(中国地震局地球物理研究所，北京100081)中图分类号：P315．01；文献标识码：A；doi：10．3969／J．issn．0235—4975．2013．04．009分是可观测的参数d。观测量是会有误差引言的，但在一定的认识条件和认识水平下，有求解地震学反演问题是一般数学物理反些量的误差可认为很小，它们对问题

2、分析结演问题的分析方法在地震学研究中的应用。果的影响可忽略，这些量就被当作模型中的一般反演问题的提出可表述如下。常量。考虑模型参数和观测参数的划分后，当人们研究一个物理对象时，首先要选式(1)可改写为定一些描述对象特征的参量X，根据已知的F(m，d)=0(3)物理规律列出变化所遵从的数量联系，即对有些实际问题，式(3)可以写成以下观测遵从的方程方程的形式口]：F()===0(1)G(m)=d(4)函数F的具体形式(如地震波的波动方程、根据设定的模型关系式，对给定的模型地震波的走时方程等)由研究对象运动变化参量，通过分析演绎，

3、预测会有怎样的观测的具体规律决定。矢量一(，32，⋯；)量的问题，称为正演问题；由已知的观测表示共有L个参量(上标T表示转置)，函值，根据模型推断可能有怎样的模型参数值数矢量F一(F，F。，⋯，F)表示式(1)代的问题称为反演问题。表含N个方程的方程组：在求解反演问题之前，人们必须先能求rF3(z1，z2，⋯，32L)一0解正演问题，即需要能理解产生观测结果的j⋯⋯(2)物理过程，以便建立该过程的可靠的数学1JFⅣ(z1，2，⋯，zL)一0模型。对许多问题，人们还没有完全认识有关在确定模型F(或G)和已知数据d以的规律，只是

4、在观测和实验的基础上提出表后，反演问题就归结为根据式(3)或式(4)求示各参量之间可能物理联系的假设关系式来解模型参数优的数学问题。对不少实际问试验性地分析问题，这时F就称为描述认识题，函数F(m，d)或G(n1)是非线性函数，对象的模型。参量X中包含两部分，一部分这时要求解的数学问题是个非线性反演问是未知的构建模型用的模型参数m；另一部题；当它们是线性函数时，则要求解的是线性反演问题。对于许多实际问题，这一求解收稿日期：2012—11-07过程常常是比较复杂的，目前已发展了许多36国际地震动态求解反演问题的数学方法。式中一

5、(r，z，Y，z)是4维的模型参数在地震学中，人们已经研究了许多“正矢量，T(m)===(T1(m)，⋯，TN(2))是N演问题”的解，即对给定的地球结构和地震维的计算到时矢量，d一(，，⋯，)是震源的模型，人们已计算出了可观测的地震N维的观测到时矢量。式(7)所示的地震定运动的特性，例如，各种地震波的走时、地位问题正是一般反演问题公式(4)的一个具震波的频散曲线、地震引起的强地震动与近体表达形式。式(6)或(7)可称为地震定位问场地震动的频谱、地球自由震荡周期、远场题的观测方程组。由式(5)可见，各台的计地震波的波形和完整

6、的地震图，等等。“反算走时T，是模型参数的非线性函数，即演问题”就是将这些计算结果与实际观测数T(m)代表一组非线性函数，因此，这里的地据进行比较，使计算结果能最好地拟合观测震定位问题是个非线性反演问题。数据，以便确定描述地球结构和地震震源的由于定位模型的近似性和观测存在误差各种模型参数。等因素，一般是不能找到使式(6)或(7)严格成立的模型参数的。方程组(7)中未知数是41近震定位问题个，一般台站数N都会多于4个，即式(7)作为地震学反演问题的例子，现分析一是个超定方程组，无法求数学上严格成立的个最简单的近地震的定位问题。

7、解答。求解反演问题通常是求能使残差矢量，一T(m)一d(8)设均匀水平地壳内P波传播速度73为尽量小的模型参数。r的任一分量r，一Tj(r，已知量。选取一原点O在地表、z轴向北、Y轴向东、z轴向下的直角坐标系，设地壳内z，Y，z)一t是第J台的计算到时与观测到在时刻r(发震时刻)、深度为处发生一个时的差异，即第J台的到时残差。我们所要小地震，其震中位置的坐标为(，)。设地求的解答是要使各台的计算到时与观测到时震周围有方位不同、离地震远近不同的N总体上能尽量符合。个地震台接收到地震发出的直达P波的到可以有不同的标准来衡量计算到

8、时与观达时间t(一1，2，⋯，N)，各台的空间位测到时的符合程度，一种常用方法是使以下置(2=)可认为足已知量。根据所用的失配函数Q(亦称目标函数)取极小值：的均匀地壳模型，各台站的理论到时T，应Q(r，，Y，)一llrfl一N等于发震时刻r加上P波到各台的走时：∑一min(9)J一1Tj