03041线代甲试卷填空题详解

《03041线代甲试卷填空题详解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、03041线代甲试卷填空题详解一.填空题(本大题28分,每个空格4分)1.设为阶方阵,且,则行列式_________.解：本题考察行列式的计算技巧。（各列都加到第1列，提出公因式）。所以答案是：。2.设,为的代数余子式.则_____________.解：本题考察对行列式元素的代数余子式的性质和行列式展开定理的了解。注意到行列式的一个元素的代数余子式只与这个元素的位置有关而与这个元素本身的数值大小无关的。于是我们有：。上式右边的行列式的第1行与第2行相同，故由教材P64性质1的推论知该行列式的值为零。所以答案是：0。注：如果先算和，再算，则计算量较大，不符合本题考察的要求。3.设则_

2、_____________.3解：本题考察矩阵计算的技巧。其解题的要领与作业中做过的教材P48Ex7相同。（1）（2）由（1），（2）所以答案是：。1.设,则矩阵中与相似的为_____________,在实数域上与合同的为__________.解：本题第一部分考察实对称矩阵相似的条件。注意到都是实对称矩阵。由课堂上讲过的命题5.3.1知：两个同阶的实对称矩阵相似的充要条件是：它们有相同的特征值。先算的特征值。是准对角矩阵，它显然有一个特征值是3，由于有两行相同，所以，因此必有特征值0。设的第3个特征值为，则由教材P207定理5.2(1)知tr.所以的特征值是：0，2，3。是对角矩阵

3、，它的特征值就是主对角线上的元素：0，2，3。因此由命题5.3.1知与相似。也是对角矩阵，它的特征值就是主对角线上的元素：0，，3。有特征值而没有。所以不与相似。是准对角矩阵，它显然有一个特征值1，而没有，所以不与相似。故与相似的只有。本题第二部分考察实对称矩阵在实数域上合同的条件。由补充教材P81的定理6.4.2知两个同阶的实对称矩阵在实数域上合同的充要条件是：它们有相同的秩和相同的正惯性指数。这些都可从它们的特征值看出。的特征值是：0，2，3，所以的秩是2，正惯性指数也是2。由于与有相同的特征值，所以的秩与正惯性指数也都是2，故与在实数域上合同。的特征值是：0，，3虽然的秩也是

4、2，但的正惯性指数是1，与不同，故在实数域上不与合同。由可逆，所以的值是3，与3不同，故在实数域上不与合同。综上知在实数域上与合同的也只有。5.设二次型的矩阵,则此二次型的正惯性指数为_______,负惯性指数为_____________.解：是实二次型，考察的顺序主子式：，所以由教材P248定理6.6知是正定的，故它的正惯性指数是3，负惯性指数是0。解法2：算出的特征值得：1，1，3，由此推出相同的结论。解法3：用配方法。，，所以的正惯性指数是3，负惯性指数是0。3