2014年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答

《2014年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2014年全国高中数学联赛江西省预赛题一、填空题（每小题分，共分）、如果是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是．、已知，则．、将这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，并且首尾两项之和也是质数，你的填法是：．、已知是椭圆上一点，是其左焦点，在上且满足,,则点到该椭圆左准线的距离为．、正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过点作截面与侧棱分别相交与点，当的周长最小时，的面积为．、等差数列的前项和分别为，若对任意的正整数都有，则=．、已知的值为.、将的每一个全排列皆看成一个八位数，则其中是倍数的八位数的个数为．二、解答

2、题（共86分，其中第9题20分，第10、11、12题各22分）、设为正数，证明：．8、设椭圆与抛物线有一个共同的焦点，为它们的一条公切线，、为切点，证明：．、如图，为半圆弧的中点，点为直径延长线上一点，过点作半圆的切线，为切点，的平分线分别交、于点；证明：、若整数既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，求的最大值．82014年全国高中数学联赛江西省预赛题参考答案及评分标准一、填空题（每小题分，共分）、如果是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是5．解：设数列首项为，

3、公差为，则为正整数，为使最小，当使最大，而由，得，所以．、已知，则．解：将条件式平方得，所以，由此，．、将这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，并且首尾两项之和也是质数，你的填法是：．（答案不唯一，例如所排成的数列也可）．、已知是椭圆上一点，是其左焦点，在上且满足,,则点到该椭圆左准线的距离为5．解：为中点，设椭圆右焦点为，连接，则.设到左准线距离为，则8、正三棱锥的底面边长为，侧棱长为，过点作截面与侧棱分别相交与点，当的周长最小时，的面积为．解：将三棱锥沿侧棱剪开，展平为一个五边形，然后计算。当共线时，截面周长为最小，这

4、时等腰三角形与具有相同的顶角平分线，故∥，因此，，即为等腰三角形，且皆与棱锥侧面三角形相似，记，由，即，则，所以，在．、等差数列的前项和分别为，若对任意的正整数都有，则=．解：均为等差数列，故可设，当时，、已知8的值为解：由展开式易知，、将的每一个全排列皆看成一个八位数，则其中是倍数的八位数的个数为3456．解：对于每个这样的八位数，记，而表示其数字和，先设，则，故同奇偶，且与同奇偶，因此为偶数，且是的倍数；如果，则，这不可能（因最小四数之和不小于）；于是，即有，考虑所在的组，另三数只有三种情况：与，当一组数确定后，另一组数随之唯一确

5、定．再考虑在奇数数位或偶数数位情况，于是得到个这种八位数．二、解答题（共86分，其中第9题20分，第10、11、12题各22分）、设为正数，证明：．证：由于，因此，，。………5'8只要证，，…10'两边平方，即要证，…………15’再平方，得，此为显然．…………20’、设椭圆与抛物线有一个共同的焦点，为它们的一条公切线，、为切点，证明：．证：设在抛物线上，在椭圆上，焦点，则抛物线切线方程为，椭圆切线方程为它们为同一直线，①…………4'②…………8'设公切线方程为，代入抛物线方程并由与抛物线切线方程比较可得将公切线方程代入椭圆方程，并令，

6、两曲线有相同焦点，，代入上式解得…………12’8，…………16’，代入②式，得.…………22'、如图，为半圆弧的中点，点为直径延长线上一点，过点作半圆的切线，为切点，的平分线分别交、于点；证明：证：连接、，…………4'即…………8'分别四点共圆。…………12'四点共圆，…………16'…………22'、若整数既不互质，又不存在整除关系，则称是一个“联盟”数对；设是集的元子集，且中任两数皆是“联盟”数对，求的最大值．解：称这种子集为“联盟子集”；首先，我们可构造一个联盟子集，其中具有个元素．为此，取，以下证，就是的最大值．8………4’今设是

7、元素个数最多的一个联盟子集，，若是集中的最小数，显然，如果，则得，即，显然，（因与有整除关系）．…………8’今在中用替代，其它元素不变，成为子集，则仍然是联盟子集，这是由于对于中异于的任一元素，因与不互质，故与也不互质；再说明与没有整除关系：因，则；又若，设，（显然，否则有整除关系），则，于是，这与的最小性矛盾！…………16’因此仍然是联盟子集，并且仍是元集；重复以上做法，直至子集中的元素皆大于为止，于是得到元联盟子集，其中．即，因任两个相邻整数必互质，故在这个连续正整数中至多能取到个互不相邻的数，即．又据前面所述的构造可知，的最大值

8、即为．…………22’8